複素数平面の問題です

|z|=1を満たすとき, w=(2+i)(z+i)/(z-2i)はどのような図形上にあるかという問題で
z=に変形して解くのだと思いますが、うまく式変形の方針が定まらず悩んでいます。

|w-中心|=半径という形に持っていく途中式を教えてください。

質問者からの補足コメント

• 

  stomachmanさんの回答をもとに...
  u = (z + i)/(z - 2i)より
  |u + 1| = 1…①
  u = w/(2 + i) = w(2 - i)/5
  
  ①にuを代入
  |w(2 - i)/5 + 1| = 1
  |2 - i|| w + 5/(2 - i)| = 5
  √5|w + (2 + i)| = 5
  
  よって、円の中心 -(2 + i) 半径√5
  
  答えにたどり着きました、ありがとうございます！

    補足日時：2023/08/03 15:35

No.3 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2023/08/03 09:50

w = (az + b)/(cz + d) は等角写像（メビウス変換） ですね。

平行移動、回転、拡大縮小、対合のあらゆる組み合わせは、どれもひとつの等角写像で表せる。逆に言えば、いつもいつも

> |w-中心|=半径

になるというわけではない。でも、定数倍を除いた
　　u = (z + i)/(z - 2i)
なら、円 |z| = 1 は円 |u + 1| = 1 に写る。

この回答へのお礼

写像についてもう少し理解を深めたいと思います。ありがとうございました

お礼日時：2023/08/04 02:53

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/08/03 17:05

w=(2+i)(z+i)/(z-2i)

↓両辺にz-2iをかけると
w(z-2i)=(2+i)(z+i)
wz-2iw=(2+i)z+2i-1
↓両辺に1-2i-wzを加えると
1-2i-2iw=(2+i)z-wz
1-2i-2iw=(2+i-w)z
↓両辺の絶対値をとると
|1-2i-2iw|=|(2+i-w)z|
|1-2i-2iw|=|2+i-w||z|
↓|z|=1だから
|1-2i-2iw|=|2+i-w|
|2iw+2i-1|=|w-2-i|
|2w+2+i|=|w-2-i|
↓両辺を2乗すると
|2w+2+i|^2=|w-2-i|^2

↓(2w+2+i)～は(2w+2+i)の共役複素数とすると

(2w+2+i)(2w+2+i)~=(w-2-i)(w-2-i)~
(2w+2+i)(2w~+2-i)=(w-2-i)(w~-2+i)
4ww~+2(2-i)w+2(2+i)w~+5=ww~-(2-i)w-(2+i)w~+5
↓両辺に(2-i)w+(2+i)w~-ww~-5を加えると
3ww~+3(2-i)w+3(2+i)w~=0
↓両辺を3で割ると
ww~+(2-i)w+(2+i)w~=0
↓両辺に(2+i)(2-i)=5を加えると
ww~+(2-i)w+(2+i)w~+(2+i)(2-i)=5
(w+2+i)(w~+2-i)=5
|w+2+i|^2=5
∴
|w+2+i|=√5

中心-2-i半径√5の円

この回答へのお礼

両辺に1-2i-wzを加えると,,,が思い付きませんでした、丁寧に回答くださりありがとうございました

お礼日時：2023/08/04 02:52

No.2 回答者： へのへのもへへ 回答日時： 2023/08/03 02:37

zを極座標表示してwに代入できませんか？

この回答へのお礼

回答くださりありがとうございました

お礼日時：2023/08/04 02:54

No.1 回答者： 里神 回答日時： 2023/08/03 02:31

そんなの知って何なる