【至急】数学B ベクトル

a→ ＝(1,3)に垂直な単位ベクトルb→を求めよ。
という問題があり、
答えが
b→＝(x,y)とするとa→⊥b→、|b→|＝1である。

x＋3y＝0…①
x²＋y²＝1…②

①よりx＝-3y
②に代入して(-3y)²+y²＝1より
y＝±√10/10(分母10、分子√10)
y＝√10/10のとき、x＝−3√10/10
y＝−√10/10のとき、x＝3√10/10

という感じなのですが、分からないところがいくつかあるので答えて欲しいです..
x＋3y＝0…①
↑これは垂直だと＝0になるのは分かるのですが、
x²＋y²＝1…②
↑これがなぜこうなるのかが分かりません..公式でしょうか..?

②に代入して(-3y)²+y²＝1より
y＝±√10/10と求めたあと、y＝±√10/10は①のしきに代入するとxが出ると思うんですけど、
②の式に代入した場合、違う値になってしまいますが、なぜ①の式にしか代入してはいけないのでしょうか。
数学が苦手なので、質問の仕方も変ですが、できる限り分かりやすく教えて欲しいです。。。

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/10/13 22:15

＞ b→＝(x,y)とするとa→⊥b→、|b→|＝1である。

って書かれていますよね。
|b→|＝1 は、 b→ が単位ベクトルであることを表しています。

この式に b→＝(x,y) を代入すると、√(x²＋y²)＝1.
両辺が正な式なので、二乗しても同値で、x²＋y²＝1 になります。

No.3 回答者： stomachman 回答日時： 2020/10/13 22:32

> ②の式に代入した場合

　　y＝±√10/10
を
　　x²＋y²＝1…②
に代入するんですから
　　x²＋(±√10/10)²＝1
なので
　　x²＋(1/10)＝1
であり、移項すると
　　x²＝9/10
ですね。で、

> 違う値になってしまいます

ってのはどういう話でしょうか？

No.1 回答者： cametan_42 回答日時： 2020/10/13 21:46

> x²＋y²＝1…②

> ↑これがなぜこうなるのかが分かりません..公式でしょうか..?

求めるのが単位ベクトルだから、ですよね。
単位ベクトルは「長さが1」なんで、半径1の円、って条件で制限をかけてるのです。

正直、「理解できない」と言った場合、別解がある場合があるので、気にしなくても良い、って言えば良いんですよ。1つの方法が理解出来なければ別の方法を考えれば良い。
例えばこの問題の場合、「数III修了してる人たち」とか、ほぼ確実に「こんなメンド臭い」考え方はしません。
あるベクトルに垂直なベクトルを考えるのなら

「あ、回転させりゃエエやん」

とか思うんですよね(笑)。
十中八九、回転行列を使った解法を思いつくでしょう(特に、この辺は、昔の人たちは数IIで学んでたので尚更です)。
θだけベクトルを回転させるのは次のような行列を用いて表現します(多分まだやってないだろうけど)。

(cosθ -sinθ)(1) => x = cosθ - 3sinθ
(sinθ　cosθ)(3) => y = sinθ + 3cosθ

当然、「垂直なベクトル」は真逆の方向にそれぞれあるので、2つになりますよね。言い換えると、π/2回転したのと-π/2回転したのと、です。
それぞれ条件考慮すると

(-3, 1) (3, -1)

の2つが出てきます。
ベクトルそのものは求まりましたが、これらは単位ベクトル、つまり、長さが1のベクトルではない。
結局それぞれ長さ√10で割ると単位ベクトルになるので、

(-3/√10, 1/√10), (3/√10, -1/√10)

となって、件の解答と同じ解答になりますね。

要するに、「やり方は1つではない」ので、もし、1つの解法がピンと来ないのなら、気楽に別解を考えてみましょう。