数学の分からない問題を解説してください

等式x^2f'(x)-f(x)=x^3+ax^2+bxを満たす整式f(x)について次の問いに答えよ。ただしa,bは定数

(1)f(x)はxの何次式か

(2)このような整式f(x)が存在する
ためのa,bについての条件を求めよ


文系の僕でも分かるようにお願いします

No.2 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2011/06/20 10:45

f(x)の最大次数をn(＝自然数)とすると、f(x)＝x＾n。

f´(x)＝nx＾(n-1)だから、左辺の最大次数は　x^2f'(x)の次数より　(n-1)＋2.
これが、右辺の最大次数に一致するから、(n-1)＋2＝3　→　n＝2

x＝0を条件式に代入すると、f(0)＝0だから、f(x)＝mx＾2+nx　とおける。但し、mとnは定数で、m≠0
f(x)＝mx＾2+nx　を条件式に代入すると、2mx＾3+(n-m)x＾2ーnx＝x^3+ax^2+bx
これが、全てのxに対して成立するから、両辺の係数を比較して、2m＝1、n-m＝a、b＝ーn。
よって、2(a+b)＋1＝0.

No.1 回答者： gohtraw 回答日時： 2011/06/20 00:06

（１）ｆ’（ｘ）はｆ（ｘ）よりも次数が一次低いので、ｘ＾２ｆ’（ｘ）はｆ（ｘ）よりも次数が一次高くなります。

与えられた等式の両辺をｆ（ｘ）で割ると
ｘ＾２ｆ’（ｘ）／ｆ（ｘ）－１＝（ｘ＾３＋ａｘ＾２＋ｂｘ）／ｆ（ｘ）
となり、左辺の次数は一次なので右辺も一次でなくてはならず、これよりｆ（ｘ）はｘの二次式と判ります。

（２）
ｆ（ｘ）＝ｐｘ＾２＋ｑｘ＋ｒとおくとｆ’（ｘ）＝２ｐｘ＋ｑ
これらを元の等式に代入すると
２ｐｘ＾３＋（ｑ－ｐ）ｘ＾２＋ｑｘ＋ｒ＝ｘ＾３＋ａｘ＾２＋ｂｘ
係数を比較すると
２ｐ＝１、ｑ－ｐ＝ａ、ｑ＝ｂ、ｒ＝０
一式目よりｐ＝１／２、これを二式目に代入するとｑ＝ａ＋１／２となります。これを三式目と比較すると
ｂ＝ａ＋１／２
これがａ，ｂの満たすべき条件です。