A 回答 (2件)
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No.2
- 回答日時:
f(x)の最大次数をn(=自然数)とすると、f(x)=x^n。
f´(x)=nx^(n-1)だから、左辺の最大次数は x^2f'(x)の次数より (n-1)+2.
これが、右辺の最大次数に一致するから、(n-1)+2=3 → n=2
x=0を条件式に代入すると、f(0)=0だから、f(x)=mx^2+nx とおける。但し、mとnは定数で、m≠0
f(x)=mx^2+nx を条件式に代入すると、2mx^3+(n-m)x^2ーnx=x^3+ax^2+bx
これが、全てのxに対して成立するから、両辺の係数を比較して、2m=1、n-m=a、b=ーn。
よって、2(a+b)+1=0.
No.1
- 回答日時:
(1)f’(x)はf(x)よりも次数が一次低いので、x^2f’(x)はf(x)よりも次数が一次高くなります。
与えられた等式の両辺をf(x)で割るとx^2f’(x)/f(x)-1=(x^3+ax^2+bx)/f(x)
となり、左辺の次数は一次なので右辺も一次でなくてはならず、これよりf(x)はxの二次式と判ります。
(2)
f(x)=px^2+qx+rとおくとf’(x)=2px+q
これらを元の等式に代入すると
2px^3+(q-p)x^2+qx+r=x^3+ax^2+bx
係数を比較すると
2p=1、q-p=a、q=b、r=0
一式目よりp=1/2、これを二式目に代入するとq=a+1/2となります。これを三式目と比較すると
b=a+1/2
これがa,bの満たすべき条件です。
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