A 回答 (4件)
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No.4
- 回答日時:
この質問の回答期限の希望は昨日まででしたし、#2さんの解答で質問者様が理解できたのなら
よいのですが、#2さんの解き方って強引というか、問題が出してくれているヒントを
無視していないかなとも思います(論理的に全く問題はないですし、
この解き方の知識は必要だと思います)。
以下、下付きの添え字の前には_を、上付きの添え字の前には^をつけ、
また境目が分かりにくくなるものには{}をつけて示します。
(1)a_n+2b_n=3のn乗となることを示せ。
a_{n+1}=a_n+4b_n 式(1)
b_{n+1}=a_n+b_n 式(2)
式(1)+2×式(2)
a_{n+1}+2b_{n+1}=(a_n+4b_n)+2×(a_n+b_n)=3a_n+6b_n=3(a_n+2b_n)
つまり、c_n=a_n+2b_nとおくと、
c_{n+1}=3c_n
であり、項数が1つ増えるたびに3倍される等比数列だということ。
で、
c_{n+1}=3c_n=3^2 c_{n-1}=…=3^n c_1
c_1=a_1+2b_1=3なので、
c_{n+1}=3^n × 3=3^{n+1}
ゆえにc_n=3^nで、c_n=a_n+2b_nなので、a_n+2b_n=3^n
(2)数列{a_n}の一般項を求めよ。
(1)より、a_n+2b_n=3^nということが分かりました。
それとは別に、a_n+k b_n=m(kは定数、mはa_nやb_nが入らない数)で表せれば、
この2つの式を加減乗除することでa_nの一般項が求められそうですよね。
ここでそうなる数字を見つけます。
つまり、a_{n+1}+k b_{n+1}が等比数列になるようなkを求めるということです。
a_{n+1}+k b_{n+1}=α(a_{n+1}+k b_{n+1})…式(3)となるような、α、kを求める
(α、kは定数)。
式(3)に式(1)、(2)を代入すると、
a_{n+1}+k b_{n+1}=(a_n+4b_n)+k(a_n+b_n)=(1+k)a_n+(4+k)b_n…式(4)
式(3)と式(4)を比較すると、
α=1+k
αk=4+k
となり、αを消去すると、
(1+k)k=4+k…式(5)
式(5)を解くと、
k^2=4 つまりk=±2
よって、a_n+2b_nだけでなく、a_n-2b_nもすっきりした形になるということ。
a_{n+1}-2b_{n+1}=(a_n+4b_n)-2×(a_n+b_n)=-a_n+2b_n=-(a_n-2b_n)
ここで、d_n=a_n-2b_nとおくと、
d_{n+1}=-d_n=(-1)^2 d_{n-1}=…=(-1)^n d_1
d_1=a_1-2b_1=-1なので、
d_{n+1}=(-1)^n × (-1)=(-1)^{n+1}
ゆえにd_n=a_n-2b_n=(-1)^n
c_nとd_nを並べると、
c_n=a_n+2b_n=3^n 式(6)
d_n=a_n-2b_n=(-1)^n 式(7)
式(6)+式(7)
2a_n=3^n+(-1)^n
ゆえにa_n={3^n+(-1)^n}/2
No.3
- 回答日時:
ANo.2です。
済みません。(6)(7)の式が違ってました。以下のように訂正お願いします。よって、bn+1-3bn=(-1)^n …(6)
(5)も同様にして、
bn+1+bn=3^n …(7)
です。お願いします。
No.2
- 回答日時:
数列{an},{bn}をa1=b1=1
an+1=an+4bn, ……(1)
bn+1=an+bn ……(2)
(n=1,2,3,………)と定めるとき
>(1)an+2bn=3のn乗となることを示せ。
(2)より、an=bn+1-bn,an+1=bn+2-bn+1 を(1)へ代入して
bn+2-bn+1=bn+1-bn+4bn
bn+2-2bn+1-3bn=0 …(3)
k^2-2k-3=0とおくと、
(k-3)(k+1)=0 k=3,-1
(3)は、
bn+1-3bn=(-1)(bn-3bn-1)……(4)
bn+1+bn=3(bn+bn-1)……(5)と表せる。
(4)より、
bn-1-3bn=(-1)(bn-3bn-1)
bn-3bn-1=(-1)(bn-1-3bn-2)
…………
b3-3b2=(-1)(b2-3b1)
下の式を上の式の右辺へ代入していくと
bn-1-3bn=(-1)^(n-1)(b2-3b1)
(2)より、b2=a1+b1=1+1=2だから、
b2-3b1=2-3=-1
よって、bn-1-3bn=(-1)^n …(6)
(5)も同様にして、
bn+bn-1=3^n …(7)
(2)より、bn+1+bn=an+2bnだから、(7)より、
an+2bn=3^n
>(2)数列{an}の一般項を求めよ。
(7)-(6)より、
4bn=3^n-(-1)^n,bn=(1/4){3^n-(-1)^n}
(1)の結果へ代入して、
an=3^n-2bn
=3^n-2×(1/4){3^n-(-1)^n}
=(1/2){3^n+(-1)^n}
でどうでしょうか?自分で計算して確かめてみて下さい。
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