書き直し

数学…シニアの310の
解き方教えてください!

数列｛ａn｝,｛ｂn｝をａ1=ｂ1=１
ａn+1=ａn+4ｂn,ｂn+1=ａn+ｂn
(n=1,2,3,………)と定めるとき

(1)ａn+2ｂn=３のn乗となることを示せ。

(2)数列｛ａn｝の一般項を求めよ。

です(>_<)
お願いします。

No.1 回答者： Charlie24 回答日時： 2012/03/15 23:47

（１）の問題も手が出ませんか？

a_n+2b_nをa_{n -1}とb_{n-1}で表したらどうなります？

この回答へのお礼

返信ぁりがとぉ
ござぃます。

わかりません…

ほんとバカで
すみません

お礼日時：2012/03/16 00:20

No.2 回答者： ferien 回答日時： 2012/03/16 00:49

数列｛ａn｝,｛ｂn｝をａ1=ｂ1=１

ａn+1=ａn+4ｂn,　……（１）
ｂn+1=ａn+ｂn　　……（２）
(n=1,2,3,………)と定めるとき

＞(1)ａn+2ｂn=３のn乗となることを示せ。
（２）より、ａn＝ｂn+1－ｂn，ａn+1＝ｂn+2－ｂn+1　を（１）へ代入して
ｂn+2－ｂn+1＝ｂn+1－ｂn＋４ｂn
ｂn+2－２ｂn+1－３ｂn＝０　…（３）
ｋ^2－２ｋ－３＝０とおくと、
（ｋ－３）（ｋ＋１）＝０　ｋ＝３，－１
（３）は、
ｂn+1－３ｂn＝（－１）（ｂn－３ｂn-1）……（４）
ｂn+1＋ｂn＝３（ｂn＋ｂn-1）……（５）と表せる。
（４）より、
ｂn-1－３bn＝（－１）（ｂn－３ｂn-1）
ｂn－３bn-1＝（－１）（ｂn-1－３ｂn-2）
　　　　　…………
b3－３b2＝（－１）（b2－３ｂ1）
下の式を上の式の右辺へ代入していくと
ｂn-1－３bn＝（－１）^(n-1)（ｂ2－３ｂ1）
（２）より、ｂ2＝ａ1＋ｂ1＝１＋１＝２だから、
ｂ2－３ｂ1＝２－３＝－１
よって、ｂn-1－３bn＝（－１）^n　…（６）
（５）も同様にして、
ｂn＋ｂn-1＝３^n　…（７）
（２）より、ｂn+1＋ｂn＝ａn＋２ｂnだから、（７）より、
ａn＋２ｂn＝３^n

＞(2)数列｛ａn｝の一般項を求めよ。
（７）－（６）より、
４ｂn＝３^n－（－１）^n，ｂn＝(1/4)｛３^n－（－１）^n｝
（１）の結果へ代入して、
ａn＝３^n－２ｂn
　　＝３^n－２×(1/4)｛３^n－（－１）^n｝
　　＝（１／２）｛３^n＋（－１）^n｝

でどうでしょうか？自分で計算して確かめてみて下さい。

この回答へのお礼

解いてみます(。・ω・。)

本当にぁりがとぉ
ござぃます!

助かりました。

お礼日時：2012/03/16 01:16

No.3 回答者： ferien 回答日時： 2012/03/16 02:14

ANo.2です。

済みません。（６）（７）の式が違ってました。以下のように訂正お願いします。

よって、ｂn+1－３bn＝（－１）^n　…（６）
（５）も同様にして、
ｂn+1＋ｂn＝３^n　…（７）

です。お願いします。

No.4 回答者： Charlie24 回答日時： 2012/03/16 12:48

この質問の回答期限の希望は昨日まででしたし、#2さんの解答で質問者様が理解できたのなら

よいのですが、#2さんの解き方って強引というか、問題が出してくれているヒントを
無視していないかなとも思います（論理的に全く問題はないですし、
この解き方の知識は必要だと思います）。

以下、下付きの添え字の前には_を、上付きの添え字の前には^をつけ、
また境目が分かりにくくなるものには{}をつけて示します。

（1）a_n+2b_n=3のn乗となることを示せ。

a_{n+1}=a_n+4b_n　式(1)
b_{n+1}=a_n+b_n　式(2)

式(1)+2×式(2)
a_{n+1}+2b_{n+1}=(a_n+4b_n)+2×(a_n+b_n)=3a_n+6b_n=3(a_n+2b_n)

つまり、c_n=a_n+2b_nとおくと、
c_{n+1}=3c_n
であり、項数が1つ増えるたびに3倍される等比数列だということ。

で、
c_{n+1}=3c_n=3^2 c_{n-1}=…=3^n c_1
c_1=a_1+2b_1=3なので、
c_{n+1}=3^n × 3=3^{n+1}
ゆえにc_n=3^nで、c_n=a_n+2b_nなので、a_n+2b_n=3^n

（2）数列｛a_n｝の一般項を求めよ。

（1）より、a_n+2b_n=3^nということが分かりました。
それとは別に、a_n+k b_n=m（kは定数、mはa_nやb_nが入らない数）で表せれば、
この2つの式を加減乗除することでa_nの一般項が求められそうですよね。
ここでそうなる数字を見つけます。
つまり、a_{n+1}+k b_{n+1}が等比数列になるようなkを求めるということです。

a_{n+1}+k b_{n+1}=α(a_{n+1}+k b_{n+1})…式(3)となるような、α、kを求める
（α、kは定数）。

式(3)に式(1)、(2)を代入すると、
a_{n+1}+k b_{n+1}=(a_n+4b_n)+k(a_n+b_n)=(1+k)a_n+(4+k)b_n…式(4)

式(3)と式(4)を比較すると、
α=1+k
αk=4+k
となり、αを消去すると、
(1+k)k=4+k…式(5)
式(5)を解くと、
k^2=4　つまりk=±2

よって、a_n+2b_nだけでなく、a_n-2b_nもすっきりした形になるということ。

a_{n+1}-2b_{n+1}=(a_n+4b_n)-2×(a_n+b_n)=-a_n+2b_n=-(a_n-2b_n)

ここで、d_n=a_n-2b_nとおくと、
d_{n+1}=-d_n=(-1)^2 d_{n-1}=…=(-1)^n d_1
d_1=a_1-2b_1=-1なので、
d_{n+1}=(-1)^n × (-1)=(-1)^{n+1}
ゆえにd_n=a_n-2b_n=(-1)^n

c_nとd_nを並べると、

c_n=a_n+2b_n=3^n　　　　式(6)
d_n=a_n-2b_n=(-1)^n　　式(7)

式(6)+式(7)
2a_n=3^n+(-1)^n

ゆえにa_n={3^n+(-1)^n}/2