剰余の定理 応用問題

xの整式ｆ（ｘ）をｘ－１、ｘ＋２、ｘ＾2＋ｘ＋２で割ったときのあまりがそれぞれ２、５、－３ｘ＋１である
　
（1）ｆ（ｘ）を（ｘ－１）（ｘ－２
）で割ったときの余りを求めよ
（２）ｆ（ｘ）を（ｘ－１）（ｘ＾2＋ｘ＋２）で割ったときの余りを求めよ


この（１）は参考書をみながら解けたのですが（2）の方が参考書にはのっておらず、とくことができません

ｆ（ｘ）＝（ｘ－１）（ｘ＾２＋ｘ＋２）Ｑ（ｘ）＋aｘ＾２＋ｂｘ＋ｃとおいてｆ（ｘ）＝１からa+b+c=2となるところまでわかりましたがあと２つの式の立て方がわからないのでどなたかヒントをください
よろしくお願いします

No.3 ベストアンサー 回答者： mis_take 回答日時： 2007/03/14 10:44

x^2+x+2 で割った余りが -3x+1 を使う工夫をしましょう。

(a) あなたの解答を続けて，ax^2+bx+c を x^2+x+2 で割り算する
あるいは
(b) そもそも f(x)=(x-1)(x^2+x+2)g(x)+a(x^2+x+2)-3x+1 とおく

No.4 回答者： y_akkie 回答日時： 2007/03/14 14:22

{f(x) -(-3x+1)}は(x^2 + x + 2)で割り切れることに注意して下さい。

よって、
f(x)-(-3x+1) = (x-1)(x^2+x+2)Q(x) + ax^2 + (b+3)x + (c-1)である事から、ax^2 + (b+3)x + (c-1)を(x^2 + x + 2)で割った余りが０になれば良いので、すなわち、ax^2 + (b+3)x + (c-1) - a(x^2 + x + 2) = (b+3-a)x + (c-1-2a)となり、この式は０に等しいので、

(b+3-a)=0
(c-1-2a)=0を得ます。

後は、これらの２式とa + b + c = 2の式とを連立させてa,b,cの解を求めれば良いはずです…。

No.2 回答者： Willyt 回答日時： 2007/03/14 08:02

質問の内容がおかしいですよ。

f(x) を多項式で仮定したときの係数を問題の剰余から確定しないと（１）はとけない筈です。ところが係数が確定していないのに解けたという点です。（１）を解いたときの解法を詳しく書いてみて下さい。それが書けたら（２）は造作なく解ける筈です。

No.1 回答者： nyanya0239 回答日時： 2007/03/14 07:58

ｆ（ｘ）＝（ｘ－１）（ｘ＾２＋ｘ＋２）Ｑ（ｘ）＋aｘ＾２＋ｂｘ＋ｃ ←与式とします

↑
ｆ（ｘ）＝１からというのは　ｘ=１の時と言う解釈でいいんですよね？

ｘ＾２＋ｘ＋２＝０を満たす様な解（ここでは【1／２（－１＋√７i）】と【１／２（－１－√７i）】）を与式に直接代入すると手間がかかりますが確実に解が出てきます。

ｘに１を代入したのと同じ発想です