正弦定理と余弦定理の応用

△ABCにおいて、b:c=√2:(1+√3)、外接円の半径R=√3、A=45°のときa,b,c,B,Cを求めなさい。

という問題なんですが、aは求められたのですが、それ以外の出し方が分りません。解説していただけると助かりますm(_ _)m

No.5 ベストアンサー 回答者： ma-cyan369 回答日時： 2009/10/22 02:33

b:c=√2:(1+√3)の様に比が出てくる場合は、b=2,c=1+√3ではありませんので、注意して下さい。

数学全般において、比がでてくる場合、必ずb=2k,c=(1+√3)k(kは正の整数)のように‘k’とか‘n’などの文字を使って問題を解くことを必ず暗記して下さい。

問題ではa,b,cとなっていますが説明上a=BC,b=AC,c=ABとして説明します。
問題の答えは・・・
　AC=2k,AB=(1+√3)k(kは正の整数)とおくと、BC=xkとおいて
　余弦定理より
　(xk)^2=(√2k)^2+((1+√3)k)^2-2・√2k・(1+√3)kcos45をとくと
　(計算の途中は省略します)
　X=2よってBC=2kとなる。
　又、正弦定理より、
　2K/sin45=2√3より(外接円の半径の長さR=√3)
　k=√3/√2=√6/2となるので、BC=2k,AC=2k,AB=(1+√3)kより
　BC=a=√6、AC=b=√3、AB=c=(1+√3)・√6/2＝(√6+3√2)2
　よって、a=√6、b=√3、c=(√6+3√2)2となる。(解）
　又、∠Ｂ、∠Ｃについて、
　正弦定理より、(なお文字を戻してa,b,cを使います)
　b/sinB=2√3なので、√3/sinB=2√3
　よって、sinB=1/2より、∠Ｂ=30°なので、
　∠Ｃ=180°-∠Ａ-∠Ｂより、∠Ｃ＝45°
　以上よりＢ=30°Ｃ=105°（解）
　終わり
となります。
基本的で比較的良い問題だと思うんで、問題ごと覚えちゃって下さい。


　

No.7 回答者： ma-cyan369 回答日時： 2009/10/22 20:47

あと、b=AC=√2kです。

(タイプミスです)

No.6 回答者： ma-cyan369 回答日時： 2009/10/22 02:48

すいません、さきほどの回答にタイプミスがあったので、追記します。

c=(1+√3)・√6/2＝(√6+3√2)2はc=(1+√3)・√6/2＝(√6+3√2)/2です。
∠Ｃ＝45°は∠Ｃ＝105°です。

No.4 回答者： htms42 回答日時： 2009/10/21 09:08

幾何的にやってみましょう。

△ＡＢＣで
∠Ａ＝４５°、ｂ：ｃ＝√２：（１＋√３）
√２とか√３が出てきていますから４５°の直角三角形、３０°、６０°の直角三角形が関係ありそうです。
ＣからＡＢに垂線ＣＤを引きます。
ＡＣ＝√２とすると
ＡＤ＝ＤＣ＝１です。
ＡＢ＝１+√３ですからＤＢ＝√３になります。
△ＢＣＤにおいて
∠Ｂ＝３０°、∠ＢＤＣ＝６０°、ＢＣ＝２
が分かります。

余弦定理も正弦定理も元は幾何的なものです。
４５°、３０°、６０°のような角度の場合はいつでも幾何的に出来ます。余弦定理、正弦定理でしか出来ないのはもっと中途半端な角度の場合です。

No.3 回答者： siyono314 回答日時： 2009/10/21 02:22

b:c=√2:（1+√3）の比で、「1」の長さをkとします。

すると、b=√2k,c=(1+√3)kをあらわせます。
※ここ以降、文字の後ろにある2は「二乗」として見てください。
ここで、余弦定理a2=b2+c2-2bc×cosAにa,b,c,Aをそれぞれ代入して、kの値を求めます。すると、k=√6/2となります。
よって、b=√3,c=(√6+3√2)/2となります。
そして、正弦定理より、sinB=1/2
よって、B=30°となります。
三角形の内角の和は180°なので、C=180°-45°-30°=105°となります。


ちなみに、cosB=cos30°=√3/2
cosCは余弦定理より、cosC=(√2-√6)/4と求められます。

No.2 回答者： wsyyiuftre 回答日時： 2009/10/21 01:57

aは正弦定理で√6と出ますよね。

後はまあ余弦定理を使えばいいんですが、bとcは比なので、bを√2x、cを(1+√3)xと置きます。

これを余弦定理で計算(a^2=b^2+c^2-2bc*cosA)すると、x＝√6/2となり、これをbとcに代入すれば、b=√3、c=(3√2+√6)/2となります。

最後にこのb=√3を用いて正弦定理を用いれば、∠B=30°となり、同時に∠C=105°がわかります。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2009/10/21 00:29

a がわかるなら余弦定理から b, c が求まる.

この回答への補足

素早い回答どうもありがとうございます＾＾

お手数ですが、cosB,Cはどのように求めたら良いのでしょうか？
説明が不十分で申し訳ありませんm(_ _)m

補足日時：2009/10/21 00:44