連立微分方程式の初期値問題について

連立微分方程式の初期値問題についての質問です

y1' = -18y1 -30y2
y2' = 10y1 + 17y2

y1(0) = 10
y2(0) = -6

の解の求め方を教えてください

よろしくお願いします

No.3 ベストアンサー 回答者： info222_ 回答日時： 2014/07/02 10:04

y1' = -18y1 -30y2　…(1)

y2' = 10y1 + 17y2 …(2)

y1(0) = 10 …(3)
y2(0) = -6 …(4)

>解の求め方を教えてください

(1)の両辺を微分した式に、(1)のy2と(2)のy2'を代入して
y1の同次二階線形微分方程式を導出して
解く。
　y1”=6y1-y1’
　y1(t)=6e^(2t) +4e^(-3t)

次に、求めた結果の y1 と y1' を(1)に代入して
y2(t)を求める。
　y2(t)=-4e^(2t) -2e^(-3t)
　
ただ、これだけです。

この回答へのお礼

ありがとうございますm(_ _)m

お礼日時：2014/07/02 21:51

No.2 回答者： spring135 回答日時： 2014/07/02 08:47

添え字をなくすために

y1=y

y2=z

で置き換えます。主変数が示されていないので解も何もあったものではないのですが、一応tとします。

つまり

y1'=y'=dy/dt, y2'=z'=dz/dt

です。

元の式は

y'=-18y-30z (1)

z'=10y+17z (2)

y(0)=10 (3)

z(0)=-6 (4)

(2)より

y=(z'-17z)/10 ゆえに　y'=(z''-17z')/10, これらを(1)に代入して整理すると

z''+z'+15z=0

特性方程式

p^2+p+15=0

の解は

p=(-1+i√59)/2=α, p=(-1-i√59)/2=β (5)

よって

z=aexp(αt)+bexp(βt)　　(6)

(4)より

z(0)=a+b=-6 (7)

(2)より

y=(z'-17z)/10

(6)を代入して整理すると

y=[a(α-17)exp(αt)+b(β-17)exp(βt)]/10

(3)より

y(0)=[a(α-17)+b(β-17)]/10=10　　(8)

(5)、(7)，(8)よりa,bを計算できる。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2014/07/02 08:09

一般解を求めて初期値から積分定数を決める.