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No.3ベストアンサー
- 回答日時:
No.2です。
ANo.2の補足の質問の回答
>g(z)=-1/(z+3i)から
g(z)=-1/(2a)+(z-a)/(4a^2)-(z-a)^2/(8a^3)+(z-a)^3/(16a^4)-(z-a)^4/(32a^5)+...
と書いてますがこれはマクローリン展開の1/(1-x)を使って導出したのでしょうか?もう少し詳しくお願い致します
ANo.2に
「g(z)=-1/(z+3i)
の z=a=3iにおけるテーラー展開を求めます。」
と書いてあるでしょう。
この問題では「マクローリン展開の1/(1-x)を使って導出」する必要性はありません。
無理にそうしても、計算がさらに煩雑になるだけです。
>f(z)=g(z)/(z-a)=-1/(2a(z-a))+1/(4a^2)-(z-a)/(8a^3)+(z-a)^2/(16a^4)-(z-a)^3/(32a^5)+...
>上の式にa=3iを代入していくと、
>-1/(2a(z-a))が(i/6)*(1/z-3i)となるみたいですが
>(1/z-3i)はz-aに代入したというのは分かりますが
↑↑↑↑ ????
(z-3i) ⇔ (z-a) です。
>i/6となるにはどうすればいいのでしょうか?
-1/(2a(z-a))=-1/(2×3i(z-3i))=(-1/i)・(1/6)・1/(z-3i)=(i/6)・1/(z-3i)
「-1/i=i」はわかりませんか?
No.2
- 回答日時:
>f(z)=-(1/x^2+9), z=3i
これは
「f(z)=-1/(z^2+9) をz=3iのまわりにローラン展開せよ。」
という問題でよろしいでしょうか?
そうであれば
f(z)=-1/((z+3i)(z-3i))
なのでまず
g(z)=-1/(z+3i)
の z=a=3iにおけるテーラー展開を求めます。
g(z)=-1/(2a)+(z-a)/(4a^2)-(z-a)^2/(8a^3)+(z-a)^3/(16a^4)-(z-a)^4/(32a^5)+...
これを使えばf(z)のz=a=3iのまわりにローラン展開は
f(z)=g(z)/(z-a)=-1/(2a(z-a))+1/(4a^2)-(z-a)/(8a^3)+(z-a)^2/(16a^4)-(z-a)^3/(32a^5)+...
と得られます。ここで a=3iです。
この回答への補足
g(z)=-1/(z+3i)から
g(z)=-1/(2a)+(z-a)/(4a^2)-(z-a)^2/(8a^3)+(z-a)^3/(16a^4)-(z-a)^4/(32a^5)+...
と書いてますがこれはマクローリン展開の1/(1-x)を使って導出したのでしょうか?もう少し詳しくお願い致します
この問の答えは(i/6)*(1/z-3i)-(1/6^2)-(i/6^3)(z-3i)+(1/6^4)(z-3i)^2+(i/6^5)(z-3i)^3-…となるのですが
info22様が求めた式、f(z)=g(z)/(z-a)=-1/(2a(z-a))+1/(4a^2)-(z-a)/(8a^3)+(z-a)^2/(16a^4)-(z-a)^3/(32a^5)+...
上の式にa=3iを代入していくと、-1/(2a(z-a))が(i/6)*(1/z-3i)となるみたいですが(1/z-3i)はz-aに代入したというのは分かりますがi/6となるにはどうすればいいのでしょうか?そのまま計算すると分子にiが出るような計算がよくわからないのですが、、、
No.1
- 回答日時:
>f(z)=-(1/x^2+9) z=3i
>この問題は因数分解でf(z)=-1/(z+3)(z-3)としてからマクローリン展開の 1/(1-z)=1+z+z^2+...を使って求めるものなのでしょうか?
z=3i は、-1/(x^2+9) の極ペアの一方ですね。
ペアのもう一方はその共役値 z=-3i 。
つまり、x^2+9 = (z-3i)(z+3i)
このあと、何したいのですか?
この回答への補足
この後どうすればローラン展開の求め方がわかりません
最終的には
(i/6)*(1/z-3i)-(1/6^2)-(i/6^3)(z-3i)+(1/6^4)(z-3i)^2+(i/6^5)(z-3i)^3-…となっていくそうです
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