代数学の問題です

学校で課題が出たのですがいくつか分からないものがあります。
教えて下さいませんか。

問1．Z【7】[x]の2次多項式x^2+ax+bのうち、
既約、可約であるものをそれぞれ少なくとも各3個答えよ。

問2．Z【157】（=GF（157））において、
2、35、107の逆元2^(-1)、35^(-1)、107^(-1)を求めよ。

※ 【】内の数字はZの右下に表記されています。

No.3 回答者： kup3kup3 回答日時： 2012/07/04 21:48

こんにちは。

問１

剰余類群Z【7】の元はふつう{0,1,2,3,4,5,6,7}としますが、絶対値が小さくなるように
Z【7】＝{0,±1,±2,±3}で考えることにします。そのとき
「定義１」
Z【7】係数のxの多項式　f(x)が可約であるとは次のように定義します。
f(x)が可約である
⇔　f(x)は1次以上の2つのZ【7】係数の多項式g(x)とh(x)との積に因数分解される

ここでg(x),h(x)ともに次数が1以上ということが大事です。

そこで
「定義２」
f(x)が既約
⇔f(x)は1次以上の2つのZ【7】係数の多項式の積に因数分解できない。

とします。
今問題はf(x)が2次式なのでもしx^2＋ax＋bが可約とすると次数の2＝1＋1なので２つの
１次式同士の積になるしかありません。つまり　x^2＋ax＋b＝(x－m)(x－n)になると
一般にしてよい。（厳密には　x^2＋ax＋b＝(px－r)(qx－s)として　係数比較　pq＝1
そこで　(px－r)(qx－s)＝1×(px－r)(qx－s)＝qp(px－r)(qx－s)
＝(qpx－qr)(pqｘ－ps)＝(x－qr)(x－ps)　となるから　）

これがポイントです。これより、
次の因数定理が成り立ちます。

「因数定理３」　mがZ【7】に属すとき
f(x)がx－mを因数にもつ　　　⇔　f(m)=0　(mod　7)
f(x)がx－mを因数にもたない　⇔　f(m)=0ではない　(mod　7)

そこで　a,bがZ【7】＝{0,±1,±2,±3}の要素を動くとき、x^2＋ax＋bの候補はa,bに
Z【7】の要素を代入していって　x^2,x^2＋ｘ，x^2＋2x,x^2＋3x,
x^2－ｘ，x^2－2x,x^2－3xがまずすぐ見つかります。
これらは可約です。実際x^2－3x＝x(x－3)などと因数分解されます。次にx^2－１＝(x＋1)(x－1)，
x^2－3≡x^2－4＝(x＋2)(x－2)　なのでx^2－１,x^2－3は可約です。

しかし　x^2＋2は既約です。これは　－2≡5としても　x^2＋2≡x^2－5　は因数分解
できそうにありません。
実際にそのことを示すには、f(x)＝x^2＋2　・・・(I)とおいて上の因数定理を使います。
f(0)≡2，f(±1)＝3，f(±2)＝6≡－1，f(±3)＝9＋2＝11≡4，はmod７で0でない。
Z【7】の元はこの0,±1,±2,±3の7個しかないのですから、≡0(mod　7）となる
因数定理を成り立たせるZ【7】の元はなく、既約であることが分かります。

次にf(x)＝x^2＋3x－3をみてみるとxに0,±1,±2,±3を代入して、
f(2)＝4＋6－3＝7≡0(mod7)　となるので１次因数　x－2を持ち可約です。実際
　x^2＋3x－3≡x^2－4x＋4＝(x－2)^2　(mod7）（なぜなら　＋3≡－4,－3≡4）

◎このようにa,bに0,±1,±2,±3を代入していった計7×7＝49個の2次式について
因数定理を成り立たせるような　x＝0,±1,±2,±3を探せば可約な式がみつかります。
ただし、この方法は今考えている式が2次式なので、因数定理が使えますが、
たとえば4次式が可約かどうかについてはこれだけでは不足です。
４次式が可約でも「4次式＝(２次の既約式)×(２次の既約式)」という場合が
あるからです。

◎以上のように（答え）としての一例は、自明でない可約式として　
x^2＋x＋1,x^2＋x＋5,x^2－3x－3をあげておきます。
（なぜならx^2＋x＋1≡x^2＋x－6＝(x＋3)(x－2)，x^2＋x＋5≡x^2－6x＋5＝(x－1)(x－5),
　x^2－3x－3≡x^2＋4x＋4＝(x＋2)^2　となるから）

既約式としては、x^2＋2，x^2＋2x－2，x^2＋3x＋1をあげておきます。なお7は素数
なので、係数環　Z【7】＝Z/7Z　は体（たい）です。

【問２】

まず157は素数です。よってZ【157】＝Z/157Z　は体です。したがって0以外の要素に対して
その逆元が存在します。まずZ【7】においては2の逆元は少し試せば　2×4＝8≡1 (mod7)
　なので2×4≡１(mod7)　よって　2^(-1)＝4とわかりますが、素数157は大きいので
こういうときは２つの数の「最大公約数（この場合は1となる）を求める
ユークリッドの互助法」を使います。

(1)　2と157について
　　157を2で割って　157＝2×78＋1（余りに1が出ればストップ）　これより
　　2×78＝－1＋157　⇔2×(－78)＝1＋(－157)
　　よって　2×(－78)≡1　(mod157)　⇔　2×79≡1　(mod157)　・・・(ア)　
　（何故なら　－78＋157＝79　だから）　ゆえに2^(-1)≡79(mod157)（答え）
(2)　35と157について
　　157を35で割って　157＝35×4＋17　・・・(ア)　35を17で割って　
　　35＝17×2＋1　・・・(イ)
　　よって　(ア)から17＝157－35×4　(157と35を生かしておく）これを(イ)に代入して
　　35＝(157－35×4)×2＋1　⇔　9×35＝1＋2×157　よって　9×35≡1　(mod157)　
　　つまり　　35^(-1)≡9　(mod　157)　（答え）


(3)　107と157について
　　157＝107＋50　・・・(ア)　107を50で割って　107＝50×2＋7　・・・(イ)
　　50を7で割って　50＝7×7＋1　…(ウ)　（　1　が出たのでストップ）
　　(ア)より　50＝157-107　・・・(エ)。　(イ)に代入して　107＝(157－107)×2＋7　・・・(オ)
　　(オ)より　7＝107×3－157×2・・・(カ)。　(エ)(カ)を(ウ)に代入して

　　157-107＝7×(107×3－157×2)＋1　・・・(キ)　ゆえに
　　－22×107＋15×157＝1　・・・(※)　　　よって　－22×107＝1－15×157　
　　ゆえに　－22×107≡1(mod　157)　つまり107^(-1)≡－22　
　　－22≡－22+157＝135　なので　107^(-1)≡135　(mod　157)　(答え)

No.2 回答者： ngkdddjkk 回答日時： 2012/07/01 13:31

既約、可約、逆元の意味をきちんと理解すればできるのでは？

特に逆元の定義はx*x^(-1)=1でしょ？

Z【157】（=GF（157））が何を表すかを書いてくれないと、見る人が何を意味しているかを理解するまでに時間が掛かります。おそらく157を法とした体でいいのですかね。

例えば、
2*2^(-1)=1=157n+1でいいですか？

157*1+1=158=2*79だから、2^(-1)=79とかでいいのでは？
157*3+1=472=2*236=2*79からも確認できます。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2012/06/29 23:23

何がどうわからないのですか?