(1)x=1+√3iの時、 x^3–3x^2+4x-2の値は？ (2)正の数xがx^2-x-1=0を

(1)x=1+√3iの時、
x^3–3x^2+4x-2の値は？

(2)正の数xがx^2-x-1=0を満たす時、
[1]x^3をxの一次式であらわせ。

[2]x^5-5√5x^2+5√5x+7の値は？

これらを教えて頂けないでしょうか？

質問者からの補足コメント

• [2]x^5-5√5x^2+5√5+7です。

    補足日時：2021/01/07 09:55

No.3 ベストアンサー 回答者： タムシバ 回答日時： 2021/01/07 23:17

（1）x=1+√3iを与式に代入して（a+b)^3の公式を使って腕力計算でも出来ますが，与式を次のように変形する

x^3–3x^2+4x-2
＝x^2(ｘ-3)+2(2x-1)
=(1+√3i)^2(1+√3i-3)+2{2(1+√3i)-1}
={1+2√3i+(√3i)^2}(√3i-2)+2(2+2√3i-1)
={1+2√3i+3(i^2)}(√3i-2)+2(1+2√3i)
={1+2√3i+3(-1)}(√3i-2)+2(1+2√3i)
=(2√3i-2)(√3i-2)+2+4√3i
={6(i^2)-4√3i-2√3i+4}+2+4√3i
=-6-6√3i+4+2+4√3i
=-2√3i （答え）
(2)
[1]
x^2-x-1=0　よりxを解の公式で求めると
x=[-(-1)±√｛(-1)^2-4(-1)｝]/2
＝(1±√5)/2
ｘ＞0より
∴x=(1+√5)/2・・・①
また，与式x^2-x-1=0は
x^2＝x+1・・・②
与式x^2-x-1=0　この両辺にx＞0を掛けると
x^3-x^2-x＝0
x^3＝x^2+x　②を代入する
＝(x+1)+x
=2x+1　（答え）
[2]
x^5-5√5x^2+5√5x+7
=x^3・x^2-5√5(x^2-1)+7
=(2x+1)(x+1)-5√5x+7 ∵②よりx^2-1=x
ここで①よりx=(1+√5)/2を代入する
＝[2{(1+√5)/2}+1]{(1+√5)/2+1}-5√5x+7
=(2+√5){(3+√5)/2}-5√5(1+√5)/2+7
=(6+2√5+3√5+5)/2-(5√5-25)/2+7
=(11+5√5-5√5-25)/2+7
=-14/2+7
=-7+7
=0 （答え）

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2021/01/07 13:54

(1) (数3未修の場合の解き方）

x=1+√3i
⇔x-1=√3i
両辺2乗
x²-2x+1=-3
⇔x²-2x+4=0
これを利用するために割り算実行（筆算のやり方はテキストなどを見てください）
(x^3–3x^2+4x-2)÷(x²-2x+4)=x-1あまり-2x+2
これを基本公式：(割られる数)＝(割る数)x(商)＋(あまり)
にあてはめると
(x^3–3x^2+4x-2)=(x²-2x+4)(x-1)+(-2x+2)
この問題では、(x²-2x+4)=0でx=1+√3iなんだから　代入で
(x^3–3x^2+4x-2)=(x²-2x+4)(x-1)+(-2x+2)
=0(x-1)+(-2x+2)
=(-2x+2)
=-2・(1+√3i)+2
=-2√3i
計算ミスがあればご容赦ください

(数３履修者なら　x=2(cos60°+i・sin60°）と変形して
複素数平面を用いて計算することもできます
複素数の積を基本に従ってさらっと計算すると
x³=2³(cos180+isin180)=-8
x²=2²(cos120+isin120)=-2+2√3iなので
与式=-8+-3(-2+2√3i)+4(1+√3i)-2=-2√3i)


(2)正の数xがx^2-x-1=0…①を満たす時、
[1]
①よりx^2=x+1…②
両辺x倍で
x^3=x^2+x…③
まだ一次式でないのでもうひと工夫！
➂へ②を代入で
x^3=x^2+x
=(x+1)+x
=2x+1

[2]
[1]がヒントになっています
同様に考えて
x^4=x^3・x=(2x+1)x=2x²+x=2(x+1)+x=3x+2
x^5=x^4・x=(3x+2)x=3x²+2x=3(x+1)+2x=5x+3
このことから
x^5-5√5x^2+5√5+7=(5x+3)-5√5(x+1)+5√5+7
=5x(1-√5)+10
ここまでくればあとはできますよね？

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2021/01/07 11:15

問題(2)は、

> x^2-x-1=0を満たす時、
　　x^2=x+1
である。つまり「x^2 は(x+1)と書き換えてよろしい」ってことです。なので
　　x^3 = x(x^2) = x(x+1) = x^2 + x = (x+1) + x = 2x+1
てことはつまり「x^3 は(2x+1)と書き換えてよろしい」ってことです。なので
　　x^5 = (x^2)(x^3) = (x+1)(2x+1) = …
も同様にして一次式になります。

> 正の数xがx^2-x-1=0を満たす

ということは、xはこの二次方程式の解のうち正であるもの。ちなみに、その値には「黄金数」というスゴイ名前が付いています。


問題(1)はただの計算だと考えると
　　x^2 = (1+√3i)^2 = (1)^2 + 2(√3i) + (√3i)^2
　　　　= 1 + 2√3i - 3 = -2(1-√3i)
　　x^3 = (x^2)x = -2(1-√3i)(1+√3i) = -2 ((1)^2 - (√3i)^2) = …
を計算して代入するだけ。
　しかし、
　　(x-(1+√3i))(x-(1-√3i)) = ((x-1)+√3i))((x-1)-√3i))
　　　　= (x-1)^2 - (√3i)^2 = (x-1)^2 + 3 = x^2 - 2x + 4
だから、(1+√3i)は二次方程式
　　x^2 - 2x + 4 = 0
の解の一つである。従って、x=1+√3i は
　　x^2 = 2x - 4
を満たす。だから問題(2)と同様に「x^2 は(2x-4)と書き換えてよろしい」ので
　　x^3 = x(x^2) = x(2x-4) = …
とやると、問題(1)の式は随分簡単になる。