ネットで、極限で0/0不定形の時はマクローリン展開すると上手く解けるとあり、例題とマクローリン展開を

ネットで、極限で0/0不定形の時はマクローリン展開すると上手く解けるとあり、例題とマクローリン展開を使った解答が載っていました。あまりマクローリン展開について詳しく知りませんが、見た感じでは近似値を使って計算しやすいよーにしていました。それはあくまで近似値であり、その値を代入することはありなのですか？
また、こーいう解き方がありだとしたら、大学入試でも使えますか？

マクローリン展開やテイラー展開は高校で習いますか？

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2019/05/16 00:21

ロピタルの定理は、収束する場合はその値になる

という定理で、収束の保証はしてくれない。
注意して使わないと痛い目に会いますよ。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/05/15 22:56

マクローリン展開を含むテイラー展開は、近似ではありません。

f(x) = Σ[k=0→∞] {(f^(k))(a)}(x^k)/k! は、 f(x) が x=a で展開可能であれば
近似ではなく厳密に成立する式です。

例えば、lim[x→0] (1-(cos x)^2)/x^2 をマクローリン展開で考えるなら、
cos x = 1 - (1/2)x^2 + o(x^2) を代入します。
ここで o(x^2) とは lim[x→0] o(x^2)/x^2 = 0 となるナニカという意味です。
cos x と 1 - (1/2)x^2 + o(x^2) はイコールであって、
cos x = 1 - (1/2)x^2 + o(x^2) は、誤差の無い普通の等式です。

cos x ≒ 1 - (1/2)x^2 を代入してはいけません。
o(x^2) が誤差となって等式がなりたたないからです。
物理等では、そのような計算を授業で示したりするのですが、
それは、物理だから許されるナンチャッテ計算であって、
数学では成り立ちません。

テイラー展開は高校で習いますが、
極限の計算のためにテイラー展開を代入するという小技は、
高校範囲の数学には含まれません。
式を整理するときに lim[x→] と Σ[k=0→∞] の順番を入れ替える
操作が必要になるのですが、それをしていい理由を
高校範囲では説明できないからです。

n次項以降を o(x^n) としたテイラー展開を代入して考えることは、
ロピタルの定理を n回反復使用することに相当します。
高校では習わないロピタルの定理を入試で使っても
減点されないという噂ですから、
テイラー展開の代入も大丈夫なんじゃないかとは思うのですが。

No.1 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2019/05/15 22:44

最近の学習指導要領は把握していないのですが、テイラー展開、マクローリン展開は高校では学習しないと思います。

大学入試では、難関大学でなければ出てこないと思います。