余りの計算

このような問題があります：

整式P(x)は、xのn次式（n＞＝３）であり、（xー３)^2で割った余りが２xー５であり、xー１で割った余りが５である。

整式P(x)を(x-3)^2*(x-1)で割った余りは。。。？

これら:
p(1)=5
p(3)=1
p(x)を(x-1)(x-3)で割った余り=-2x+7

を計算してP(x)を(x-3)^2(x-1)で割った余りは「ax^2+bx+c」の形になっていることが分かりますが、x＝１とx＝３を代入して得られた式：
p(1)=5=a+b+c
p(3)=1=8a+2b は次どうすればいいかよく分かりません。

ヒントをいただければ嬉しいです。
よろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： guunagoona2015 回答日時： 2019/06/10 05:55

微分を習っていれば、

P(x)を(x-3)^2で割ったときの商をA(x)とすると
P(x)=(x-3)^2A(x)+2x-5
となり、両辺をxで微分すると、
P'(x)=2(x-3)A(x)+(x-3)^2A'(x)+2
これから、
P'(3)=2　　⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ①
また、P(x)を(x-3)^2(x-1)で割ったときの商をQ(x)とすると
P(x)=(x-3)^2(x-1)Q(x)+ax^2+bx+c
となり、両辺をxで微分すると、
P'(x)=2(x-3)(x-1)Q(x)+(x-3)^2Q(x)+(x-3)^2(x-1)Q'(x)+2ax+b
これから、
P'(3)=6a+b　　⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ②
①、②から
6a+b=2
と、式が作れる。

この回答へのお礼

回答をありがとうございました；）
助かりました

お礼日時：2019/06/10 07:01

No.3 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2019/06/10 14:03

P(x)=(x-3)²Q(x)+2x-5…①　とおきます。

ここで、Q(x)を　x-1　で割ることを考えます。
1次式で割るので余りは定数となります。それをaとすると、

Q(x)=(x-1)Q´(x)+a…②　と表されます。

②を①に代入すると、
P(x)=(x-3)²{(x-1)Q´(x)+a}+2x+5
=(x-3)²(x-1)Q´(x)+a(x-3)²+2x-5

あとは、P(1)＝５　を利用すれば解けます。

この回答へのお礼

回答をありがとうございました；）

お礼日時：2019/06/11 07:04

No.2 回答者： rnakamra 回答日時： 2019/06/10 10:41

P(x)=(x-3)^2*(x-1)*Q(x)+a(x-3)^2+2x-5

とおけることがわかりますか?これが解ればx=1を代入してみれば一発ですね。

もしわからないようでしたら
P(x)=(x-3)^2*(x-1)*Q(x)+ax^2+bx+c
とおいて、ax^2+bx+cを(x-3)^2=x^2-6x+9で割ってみればよいでしょう。
この余りが2x-5と恒等的に等しいとすれば係数比較してb,cが得られるでしょう。

この回答へのお礼

ご回答をありがとうございました

お礼日時：2019/06/13 02:27