x^8を2x^2 -2x-1で割るのって大変ですよね？(筆算で計算する場合) すぐに商と余りをだす方

x^8を2x^2 -2x-1で割るのって大変ですよね？(筆算で計算する場合)
すぐに商と余りをだす方法ってありますか？

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/10/16 18:23

x^8 を 2x^2-2x-1 で割った商と余りを

x^8 = (2x^2-2x-1) Q(x) + (Ax+B) と置く。
2x^2-2x-1 = 0 の解 x = α, β を代入すると
α^8 = Aα+B, β^8 = Aβ+B となるから、
これを A, B について解いて
A = (α^8 - β^8)/(α - β), B = αβ(α^7 - β^7)/(α - β)
と判る。 A, B の具体的な値を求めるには、
二次方程式の解と係数の関係 α+β = -(-2)/2, αβ = (-1)/2
を使って整理する... って、けっこう面倒くさいな。
素直に筆算して x^8 を 2x^2-2x-1 で割ったほうがマシかも。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/10/16 19:27

c[n] = α^n - β^n　と置くと、

c[n](α+β) = (α^n - β^n)(α+β)
　　　　　= α^(n+1) - αβ^n + α^nβ - β^(n+1)
　　　　　= α^(n+1) - β^(n+1) - αβ(α^(n-1) - β^(n-1))
　　　　　= c[n+1] - αβc[n-1]　より
c[n+1] = (α+β)c[n] + αβc[n-1]
　　　= c[n] ‐ (1/2)c[n-1].
初期条件として
c[0] = α^0 - β^0 = 1 - 1 = 0,
(α-β)^2 = (α+β)^2 - 4αβ = 1^2 - 4(-1/2) = 3 から
α-β = +√3 となるように α,β を選んで
c[1] = α^1 - β^1 = √3
を使って漸化すると、
c[2] = c[1] ‐ (1/2)c[0] = √3,
c[3] = c[2] ‐ (1/2)c[1] = √3/2,
c[4] = c[3] ‐ (1/2)c[2] = 0,
c[5] = c[4] ‐ (1/2)c[3] = -√3/4,
c[6] = c[5] ‐ (1/2)c[4] = -√3/4,
c[7] = c[6] ‐ (1/2)c[5] = -√3/8,
c[8] = c[7] ‐ (1/2)c[6] = 0.
これを使って No.1 の解は
A = c[8]/c[1] = 0,
B = αβc[7]/c[1] = 1/16.