
No.5
- 回答日時:
第1列で余因子展開するなら、
第n行1列に関する係数 (-1)^(n+1) が掛かって
|B| = 0 + ... + 0 + (-1)^(n+1)・(-a1)・|E|
= (a1)(-1)^n
だよ。
No.1
- 回答日時:
帰納的に?
B の行列式を第1行で余因子展開すると、
第1行2列成分に対する余因子が
1次少ない B と同様な形の行列式になる。
余因子展開で第1行2列成分に掛かる係数が -1 だから、
|B| = (-1)^(n-1) ・ (-a1)
= (a1)(-1)^n.
1次のときは、a1 じゃなく -a1 だね。
でも、帰納的計算は必要でもなくて...
第k列と第k+1列を交換することを
k=1,2,3,...,n-1 の順で行うと、
B は下三角行列に変形されて、
その対角成分は右下端が -a1,
それ以外は 1 になっている。
変形後の行列の行列式は -a1 だが、
列の交換によって
もとの |B| の (-1)^(n-1) 倍になっているから、
|B| = (a1)(-1)^n.
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