書き込んでしまって申し訳ないのですが、答えてくれると助かります

書き込んでしまって申し訳ないのですが、答えてくれると助かります

No.7 回答者： sc348253 回答日時： 2024/06/24 16:28

AF=√(15^2 +a^2)

△ABE ∽　△ADG から　AG=17*15/8
cos A=8/17 から　半角の公式から
(cos A/2)^2=(1+cos A)/2=(1+8/17)/2=(17+8)/17*2=25/34
cos A/2=√(25/34)=5/√34
内角の二等分線に関する公式
https://manabitimes.jp/math/652
より
(15+17*15/8)AF=2*15*(17*15/8)*(5/√34)
(15*8+17*15)AF/8=2*15*(17*15/8)*(5/√34)
375AF/8=2*15*17*15*5/8*√34
15*5*5AF/8=2*15*17*15*5/8*√34
AF=2*17*3/√34
√(15^2 +a^2)=2*17*3/√34
225+a^2=(2*17*3)^2/34
a^2=(2*17*3)^2/34 -225=2*17*3*3-225=81=9^2
∴DF=a=9 (>0)

No.6 回答者： sc348253 回答日時： 2024/06/24 11:48

座標と合同と点と距離の公式より

A(0,0)
B( 0,-15)
C(15, -15)
D(15,0)
F(15 , -a) とおけば
三角形の合同から DF=FH より
点と距離の公式から
直線AE; y= - 15x/8 ∴8y= －15x　　∴15x+8y=0
だから FHはFから直線AEまでの距離だから
a={15(15)+8( -a)}/√(15^2+8^2)
=(225-8a)/17
∴17a=225-8a
∴(17+8)a=225
∴　a=9

No5の　　補助線も不要！　は蛇足でした！！！

No.5 回答者： sc348253 回答日時： 2024/06/21 12:47

三平方の定理から　AE=17

AE　と　DC のそれぞれの延長線の交点をG とすれば
△ABE　∽　△ADG から
8:15=15:GD
8:17=15:AG
GD=15*(15/8)=15*15/8
AG=17*(15/8)=17*15/8
角の2等分線の公式から
AG:AD=17*15/8 :15=17/8 :1=17:8　から
よって
DF=GD*8/(17+8)=(15*15/8)*8/25=3*3=9

　大きい三角形△ADG ∽ △ABE　の相似関係に気付けるかがポイント
また　8:15=15:GD 　8:17=15:AG　と別々にすると間違いがおこらない！
恐らく　この方法が正攻法では？補助線も不要！

No.4 回答者： sc348253 回答日時： 2024/06/19 14:19

∠DAF=Θ　とすれば　△ABEにおいて

１５tan(９０°　‐　２Θ)=8
15/tan 2Θ=8
tan 2Θ=15/8
倍角の公式から
２tanΘ/(1-(tanΘ)^2 )=15/8
tanΘ=xとすれば
2x/(1-x^2)=15/8
16x=15(1-x^2)
15x^2 +16x-15=0
x=-16±√(16^2-4*15*(-15)) /(2*15)= -16±√(256+900) /30
=-16±２＊１７　/30
=9/15 のみ
よって　DF=AD tanΘ=AD*x=15*(9/15)=9

No.3 回答者： sc348253 回答日時： 2024/06/19 13:51

△ABE　∽　△GCE からGC,GEより

角の2等分線の定理から！

No.2 回答者： sc348253 回答日時： 2024/06/19 13:21

見にくいのですがBCを8:7の内分点をEとし

AE と　DC　の延長線の交点をGとすれば　まず
(三平方の定理から　AE=17 )
△ADG と　△ECG　は相似なので
AD:EC=15:7
=AG:GE=(17+GE):GE
=DG:GC=(GC+15):GC
∴7(１７＋GE)=15GE　　∴GE=7*17/(15-7)=7*17/8
∴７(１５＋GC)=１５GC　∴GC=7*15/(15-7)=7*15/8
角の二等分線の定理　AD:AG=DF:GF
と三平方の定理から求まりますが計算が大変なので
他の方法を考えました！

DF=xとして
正方形の面積は　15*15=225
三平方の定理から　AE=17
補助線FからAEへの垂線との交点をHとすれば　AH=15 で
△ADF　と　△AHF は　2辺とその挟む角度が等しく合同なのでDF=FH
また　EH=17-15=2　なので
四角形ADFE=x*15/2 + x*17/2=(15+17)*x/2=16*x
正方形の面積は　
15*8/2 + 7*(15-x)/2 +16x=60+7*15/2 +(16-7/2)*x
∴225=60+7*15/2 +(16-7/2)*x
∴165-7*15/2=(16*2-7)*x/2
∴(165*2-7*15)/2=(32-7)*x/2
∴225=25*x
∴9=x=DF .................Ans (検算OK)

No.1 回答者： sisido166 回答日時： 2024/06/18 11:04

引くべき補助線は２本です。

まずFE。次にFからAEに直交する直線を引き、AEとの交点をGとします。
この時、△AGFと△ADFはAFを軸にして線対称の関係になるので、AD=AG=15、三平方の定理からAE=17なのでGE=2となります。またDF=GFなので、仮にDF=xとするとGF=x、FC=15-xとなります。
ここで△FECと△FEGに注目すると、これら二つは斜辺FEを共通とする直角三角形なので、「ECの二乗＋CFの二乗=GFの二乗＋GEの二乗」の式にそれぞれの長さを入れてxを求めれば答えが出せるでしょう。