合成関数の連続性の証明についてわからないことが2つあります。 ①赤線部の「･･ならば|f(x)-f(

合成関数の連続性の証明についてわからないことが2つあります。
①赤線部の「･･ならば|f(x)-f(a)|<δ0が成り立つ｣
の部分がしっくりこないです。なぜδ0というのは任意の数ではなくある数なのに|f(x)-f(a)|<δ0としてよいのですか？
②どのようにして青線部の｢|g(f(x))-g(f(x0))|<εが成り立つ｣と結論づけられるのでしょうか？

解説おねがいします

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/06/28 10:23

画像の通り

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/06/26 20:10

例えば

f(x)={(d-c)x+bc-ad}/(b-a)

の場合

どんな正数ε'>0に対しても
δ=ε'(b-a)/(d-c)
が存在して
a<x<bかつ
|x-x0|<δとなる任意のxに対して|f(x)-f(x0)|<ε'
が成り立つから

ある正数δ0>0に対しても
δ=δ0(b-a)/(d-c)
が存在して
a<x<bかつ
|x-x0|<δとなる任意のxに対して|f(x)-f(x0)|<δ0
が成り立つ
のです

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/06/26 11:11

「任意の」とは「すべての」という意味です

すべての正数ε'>0に対して成り立つならば
ある正数δ0>0に対しても成り立つのです

y0=g(x0)
すべての正数ε>0に対して
ある正数δ0>0
が存在して
y∈(c,d)かつ|y-y0|<δ0ならば|g(y)-g(y0)|<ε…(1)
が成り立つ

fの連続性の定義から

すべての正数ε'>0に対して
あるδ(ε')>0が存在してx∈(a,b)かつ|x-x0|<δ(ε')ならば|f(x)-f(x0)|<ε'
が成り立つのだから

ある正数δ0>0に対しても
あるδ(δ0)>0が存在してx∈(a,b)かつ|x-x0|<δ(δ0)ならば|f(x)-f(x0)|<δ0
が成り立つ

f(x)∈(c,d)
かつ
|f(x)-f(x0)<δ0
|f(x)-y0|<δ0
だから(1)から
|g(f(x)-g(f(x0))|<ε
が成り立つ

No.1 回答者： rnakamra 回答日時： 2024/06/26 09:41

fのx=xoでの連続性から

任意のε'>0に対してあるδ'>0が存在し、x∊(a,b)かつ|x-xo|<δ'ならば|f(x)-f(xo)|<ε'
となることが言えます。
任意のε'>0で成り立つのですから、当然ε'=δo>0であっても上記のことは成り立ちます。任意の値で成り立つ以上、その条件を満たす特定の値に対しても成り立たつのです。