2変数関数の最大、最小の問題について 実数x、yがx^2-2xy+2y^2=2…(1)を満たすとき、

2変数関数の最大、最小の問題について

実数x、yがx^2-2xy+2y^2=2…(1)を満たすとき、2x+yのとりうる値の最大値と最小値を求めよ

という問題で解説を見ると2x+y=tとおいてこれをyに合わせたy=-2x+tを(1)の式に代入して13x^2-10tx+2t^2-2=0…(2)と整理する→(2)のD≧0の値を解いてその答えを-√26≦t≦√26とする→t=±√26 を(2)の式に代入して重解x=5t/13を出す→tの値を(1)の式とx=5t/13に代入してy=±3√26/13、x=±5√26/13を出す→x=+5√26/13、y=+3√26/13のとき最大値√26.x=-5√26/13、y=-3√26/13のとき最小値-√26をとる

と書いてあるのですが、重解を利用してxとyの値を出す理由と±√26が最大値と最小値の値になる理由を解説してほしいです。

質問者からの補足コメント

• 御三人方、ありがとうございました。
  どの説明もわかりやすくてベストアンサーに誰をするか迷いましたが、特に個人的にわかりやすかったmtrajcpさんをベストアンサーに選ばせていただきます。

    補足日時：2024/07/13 11:58

No.1 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/07/13 11:04

xの2次方程式

13x^2-10tx+2t^2-2=0…(2)
が実数解をもつから
判別式
D≧0
から
-√26≦t≦√26だから
2x+y=tのとりうる値の最大値は√26
最小値は-√26
となる
(2)が重解をもつD=0のときt=±√26となるのだから
重解を利用してxとyの値を出す

この回答へのお礼

ありがとうございます

お礼日時：2024/07/13 11:55

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/07/13 11:47

2x+y=t はtを定数とすると、法線ベクトル(2、1)に垂直な直線になり、

tが増えると法線ベクトル方向へ直線が移動します。

楕円 x^2-2xy+2y^2=2と 直線 2x+y=tが交わる点は、通常2点かゼロ点ですが、
tが最大値、最小値をとる時は楕円と直線が接する時で、一点で交わることになります。
なので(2)のD=0の時のtがtの最大値、最小値になります。

この回答へのお礼

ありがとうございます

お礼日時：2024/07/13 11:55

No.2 回答者： kairou 回答日時： 2024/07/13 11:11

(1) の曲線と 2x+y=t の直線との交点を求め、

その交点座標の 2x+y を求めるのでは。
NO1 さんの回答にある様に 代入して x の解を求めれば、
それが 交点の x 座標になる筈です。
交点が存在するには 判別式を用いて t の取り得る範囲が決まります。
その範囲が 2x+y の取り得る範囲ですね。

この回答へのお礼

ありがとうございます

お礼日時：2024/07/13 11:55