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数学の質問です。

実数x、yが x²+y²=9 を満たす時、
3x+4yの最大値、最小値を求めなさい。

と言う問題で、解答には初めに
x=3cosθ、y=3sinθ とおける。
と書いてありました。
ここで質問ですが、どうしてこのようになるのかわかりません。どなたか教えてください。

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A 回答 (7件)

x^2+y^2=9


↓両辺を9で割ると
x^2/9+y^2/9=1
(x/3)^2+(y/3)^2=1
↓両辺から(x/3)^2を引くと
(y/3)^2=1-(x/3)^2…(1)
↓0≦(y/3)^2だから
0≦1-(x/3)^2
↓両辺に(x/3)^2-1を加えると
(x/3)^2-1≦0
{(x/3)+1}{(x/3)-1}≦0

-1≦x/3≦1
だから
x/3=cosθとなるθがある…(2)
↓これを(1)に代入すると
(y/3)^2=1-(cosθ)^2
↓1-(cosθ)^2=(sinθ)^2だから
(y/3)^2=(sinθ)^2
↓両辺を1/2乗すると
y/3=sinθ
↓(2)とこれから

x=3cosθ
y=3sinθ
とおける
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この回答へのお礼

丁寧な解説ありがとうございました!
おかげさまでスッキリしました!

お礼日時:2022/02/24 08:24

>9cosθ+12sinθとは、どこからきたのですか?



3x+4y にx=3cosθ、y=3sinθ を代入すると得られます。
これの最大、最小値を求めればいい。

x=12cosθ-9sinθ
y=12sinθ+9cosθ

はベクトルu=
12
9
とすると

x
y

uを角度θだけ回転したものなので
yの最大、最小は
最大=|u|
最小=-|u|
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この回答へのお礼

ありがとうございます!
代入すればよかったのですね...!

お礼日時:2022/02/24 08:23

No.3 にひっかかっちゃだめですよ。


x = 3cosθ, y = 3sinθ と置けば x²+y²=9 を満たすことじゃなく、
x²+y²=9 を満たすどの x,y についても
x = 3cosθ, y = 3sinθ と書ける θ があることが解法の根拠なんです。
何人かが書いているように図形に頼って説明することもできるけれど、
No.1 が確実かなあ。
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極座標の考え方ですね。


x²+y²=9 のグラフは 中心が原点で 半径 3 の円です。
この円を 三角関数の単位円 と考えたら、分かるかな。
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x²+y²=9は


原点を中心とする半径3の円だから。

円の陰関数表示ってやつ。

円の角度を使った媒介変数表示に
親しんでいるなら、質問のように
さらっと同等の媒介変数表示に変換できる。
x=rcosθ
y=rsinθ
rは半径。
点P=(x、y)、原点をOとすると
θはOPとX軸のなす角。
但しX軸にたいし反時計に
回るのが正と定義。所謂一般角

で、9cosθ+12sinθ をみたら
これも円の媒介変数表示のy成分とみなす
ことができることを見抜ければ、
ピタゴラスの定理で
√(9²+12²)=15
だから、答えは、最小は-15、最大は15

で瞬時に終わります。地道に加法定理で
解いても良いけど。
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この回答へのお礼

9cosθ+12sinθとは、どこからきたのですか?

お礼日時:2022/02/23 21:22

>どうしてこのようになるのかわかりません。



そのようにおけば、
 x² + y² = 9
を満たすでしょう?
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x²+y²=9 が、中心の半径3の円です。


X軸の正方向を0°とし、そこから円上の角θ進んだ点と(0,0)を結ぶと、それは半径3のため長さ3です。
次に、円上の角θ進んだ点からX軸に垂線を引くと、直角三角形になり、円上角θの点のx座標は3×cosθになります。
同様に、円上の角θ進んだ点からY軸に垂線を引くと、直角三角形になり、円上角θの点のy座標は3×sinθになります。
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