チンパンジーの生息する山に数直線の0以上の部分を設置しました。 この山に転がっている石の表面には正の

チンパンジーの生息する山に数直線の0以上の部分を設置しました。
この山に転がっている石の表面には正の実数がひとつ彫られており、どの正の実数をとってもその実数が彫られた石が無数に見つかります。また、λが彫られた石が数直線の0以上x以下の部分に落ちる確率は1-e^(-λx)となっています。
早速チンパンジーたちがそれぞれ石を一つとってきて、数直線に落としてはそれを拾い、また落とし…という遊びを始めました。
しかし漫然と石を落としているだけではさすがにチンパンジーたちも飽きるようなので、数直線の1以上2以下の部分に初めて石を落とす前に0以上1未満の部分と2より大きい部分のどちらにも石を落としたことのある子には1以上2以下の部分に石を落としたあとにバナナをあげることにしました。ただし、カロリーのこともあるのでバナナは一日一本までとします。
次の日もその次の日もまたその次の日も…前日にバナナをもらった子ももらえなかった子も、好きな石を見つけてきて同じように1以上2以下の部分に落とした子にはバナナをあげることにします。
一週間後、チンパンジーたちはどの実数が彫られた石を手にとっているでしょうか？

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/08/13 15:18

こういう問題文って、なんか

いっしょうけんめい書きました
って感じで、心温まるよね。

[3]
成功する確率が Σ[n=2→∞] (1 - aⁿ - bⁿ)c なんじゃないの？
その 1 - P にならない気がするけど。

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2024/08/13 14:09

> 一週間後、チンパンジーたちはどの実数が彫られた石を手にとっている

　チンパンジーの勝手でしょう。そもそもバナナが欲しいと思っているかどうか、いや、遊びに集中したいのかもしれん。ま、そこは譲ってバナナを遊びに優先するということにしましょうか。

[1]　さて、同じひとつの石を「落としてはそれを拾い、また落とし…」というのはチンパンが勝手にやり始めたことですが、石はいくらでもあるんだから、3つ使えば良いじゃん。
A: 2より大きい部分に石λが落ちる。（確率　a = e^(-2λ)）
B: 0以上1未満の部分に石λが落ちる。（確率 b = 1-e^(-λ)）
X: 1以上2以下の部分に石λが落ちる。（確率 c = e^(-λ) - e^(-2λ)）
　だから、Aの確率を最大化するにはλは小さいほどよろしい。Bの確率を最大化するならλは大きいほどよろしい。Xの確率を最大化するにはλ=log(2)。というわけで、λがうんと小さい石と、λがうんと大きい石と、λ≒0.7あたりの石を確保するとよろしい。石の模様の意味など分からなくたって、試行錯誤でここに辿り着くことは（「一週間」では難しいかもしれんが）ありうるだろう。

[2]　いやそれじゃ出題の意図とは違うんじゃないか、というので、「落とす石を取り替えたら、その時点でカウントをリセット」というルールでバナナを与えるかどうかを決めることにして、試行錯誤で学習してもらうんならどうか。
　すると、毎回石を替えていたんではバナナは決してもらえない。しかし、ときどき石を替えてみなくちゃ学習が進まない。一般的な戦略として、テキトーなところで石を替えて試す。そして、一番よくバナナを貰える石をチャンピオンとして残しておく。チャンピオンの交代があまり生じなくなったら、もういいやということで、石を替えるのをやめてチャンピオンだけを使う。そういう状況で彼らが試行錯誤で学んでバナナを貰える確率を最大化するのに「一週間」では足りない気がする。

[3]　試行錯誤ではなしに、ルールを全部分かった上でバナナを貰える確率を最大化する、という話であれば（もはやチンパンに任せてはおけないけれども）、シッパイの確率Pは
　　x = e^λ
とおくと
　　a = x²
　　b = 1-x
　　c = x(1 - x)
なので
　　P= c(1 + Σaⁿ + Σbⁿ) = c(1 + a/(1-a) + b/(1-b))
　　= x(1 - x)(1 + x²/(1-x²) + (1-x)/x)
　　= (x³-x²+ 1)/(x +1)
これを最小化するために
　　dP/dx = (2x³ + 2x² - 2x - 1)/(x + 1)²
より
　　2x³ + 2x² - 2x - 1 = 0
を解くと、正の解は
　　x≒0.855
であり、ここが最小。というわけで、λ = -log(x) ≒ 0.157、このとき　P ≒ 0.482

[4]　いやいや、そういうことでもなくて、「石を落とす作業（もう遊びじゃなくなってる！）1回あたりの、貰えるバナナの本数の期待値を最大化するλを求む」という話をなさりたいのかもしれん。

ともあれ、「文章題」を作るのって難しいもんですねえ。