親より早く死んだ子が賽の河原にいると、鬼が話しかけてきました。 「ネス湖でもないのにネッシーが住み着

親より早く死んだ子が賽の河原にいると、鬼が話しかけてきました。

「ネス湖でもないのにネッシーが住み着いて困っている。確率1/5でネッシーに命中する石を5個やるからひとつずつ投げろ。ネッシーに当たるたびにさらに石を5個やる。石がなくなれば地獄に落としてやる。」

この子が地獄に落ちる確率はいくらなのでしょうか？

No.7 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2023/03/29 09:08

※この回答は、“締め切られた質問への回答追加”として、2023/03/28 12:58 に回答者の方よりご依頼をいただき、教えて!gooによって代理投稿されたものです。

特性方程式は
((x - 1)^2)(x + u)(x - z)(x - z*)=0
と因数分解でき、ここにz* はzの共役複素数。Maximaによれば
-u ≒ -1.7
|z| ≒ 1.6
θ= arg(z) ≒ -0.54π
である。a[n]が実数だという制約を満たすには、一般解のうち
a[n] = An + B + C((-u)^n) + D(z^n + z*^n)
だけが許される。つまり
a[n] = An + B + C((-u)^n) + 2D(|z|^n)cos(nθ)

さて、
a[2n] = 2An + B + C(u^n) + 2D(|z|^(2n))cos(2nθ)
ここで
1 + 2θ/π ≒ -0.07
だから
0.02＜|1 + 2θ/π|＜0.1
なので、
V[n]={cos(2nθ), cos(2(n+1)θ), ..., cos(2'n+99)θ)}
とすると、
max(V[n]) ＞ 1/2
min(V[n]) ＜ -1/2
は明らか。だから、
∀N∃n (n＞N ∧ 2cos(2nθ)＞1)
∀N∃n (n＞N ∧ 2cos(2nθ)＜-1)
よって、
∀N∃n ∀N∃n (n＞N ∧ (a[2n] ＞ 2An + B + C(u^(2n)) ＞ |D|(|z|^(2n)))
である。ところが
|z|＞1
なので、∀n(0≦a[n]≦1)を満たすDは
D = 0
しかない。
a[2n] = 2An + B + C(u^(2n))
であってu>1だから∀n(0≦a[n]≦1)を満たすCは
C = 0
しかなく、そして、
a[n] = An + B
だから∀n(0≦a[n]≦1)を満たすAは
A = 0
しかない。というわけで
a[n] = B
と決まった。
a[0] = 1
だから
a[n] = 1

No.6 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/03/21 10:06

No.4 の計算は、

Σ[n=0→∞] Q(n) = 1 によって
かなり手間が減らせて、
三次方程式の解と係数の関係から
対称式の計算をゴニョゴニョやると
Q(0) = 8/9 になる。

でも、立式が間違っていたらしい。
Σ[n=0→∞] Q(n) は、= 1 とならず
発散する。

他の式は合っているから、端折らずに
Q(n) を求めるしかないのか...

No.5 回答者： stomachman 回答日時： 2023/03/19 22:19

いつも面白い問題をお考えになる。

n個石を持っていて、結局ヂゴク行きになる確率をa[n]として
　　a[0] = 1
　　∀n (1 ≧ a[n] ≧ 0)
という条件付きで漸化式
　　∀n (a[n] = (4/5)a[n-1] + (1/5)a[n+4])
すなわち
　　∀n (n≧5 ⇒ (a[n] = 5a[n-4] - 4a[n-5])
が定められたということなので、 ∀n( a[n]=1) がこの漸化式の解なのは明らか。（また、a[1]=1となる解がこれしかないのも簡単。）さて、もし他に解がないならこの話で確率が定義されて、a[5]=1 てことでおしまい。

　なので結局、「この問題設定で確率が本当に定義されるのか」、言い換えれば「この漸化式が∀n (1 ≧ a[n] ≧ 0) を満たし、かつa[1]＜1であるような初期条件a[1]〜a[4]があるか」ということこそが問題、というわけですね。　　
　ま、頑張るとおっしゃってる方にお任せしようかな。

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/03/19 10:46

t 回投げた後に n 個石を持っている確率を p(t,n) と置くと、

n < 0 に対して p(t,n) = 0,　←[0]
p(0,5) = 1,
n ≠ 5 に対して p(0,n) = 0,
p(t+1,n) = p(t,n-4)・(1/5) + p(t,n+1)・(4/5)　←[1]
が成り立つ。
求めたいものは、 Q(n) = Σ[t=0→∞] p(t,n) と置いた
Q(0) の値である。

[1] の両辺を ｔ=0→∞ で Σ すると、
Q(n) - p(0,n) = (1/5)Q(n-4) + (4/5)Q(n+1).
すなわち、
n ≠ 5 のとき Q(n+1) = (5/4)Q(n) - (1/4)Q(n-4),　←[2]
n = 5 のとき Q(6) = (5/4)Q(5) - (1/4)Q(1) - 5/4　←[2’]
となる。

[0] より n < 0 に対して Q(n) = 0 だから、
[2] を反復使用して
Q(1) = (5/4)Q(0),
Q(2) = (5/4)Q(1) = Q(0) (5/4)^2,
Q(3) = (5/4)Q(2) = Q(0) (5/4)^3,
Q(4) = (5/4)Q(3) = Q(0) (5/4)^4,
Q(5) = (5/4)Q(4) = Q(0) (5/4)^5,
Q(6) = (5/4)Q(5) - (1/4)Q(1) - 5/4 = （14345/2^12)Q(0) - 5/4.
これを初期値として漸化式 [2] を解けば Q(n) が求まる。

n は 0 または自然数であるという式 Σ[n=0→∞] Q(n) = 1 に
求まった Q(n) を代入すれば、
Q(0) の一次方程式が得られて、答えが求まるはず。
[2] は同次線型漸化式なので、特性方程式が解ければ解ける。
特性方程式は 4x^5 - 5x^4 + 1 = 0 となり、5次方程式だが、
4x^5 - 5x^4 + 1 = (4x^3 + 3x^2 + 2x + 1)(x - 1)^2 なので
何とか力技で解ききれる範囲だ。3次方程式には解の公式がある。

あとは計算... たいへんそうだけど。

No.3 回答者： BAY19981026 回答日時： 2023/03/18 20:35

n回投げて、ネッシーにちょうど当たる確率をA n、1回外れた確率をBn、2回続けて外れた確率をCnとすると、でもラッキーで当て続けたら際限なく外していいわけで、おそらくオイラー数かなんかに収束するんだろうけど、もう少し時間をください。

No.2 回答者： GOMΛFU 回答日時： 2023/03/18 14:51

ネッシーがいる確率が0%なので、100%。

No.1 回答者： bagus3 回答日時： 2023/03/18 14:06

鬼が話しかけてきたということは、

すでに地獄にいるんです