確率変数 Xは2項分布B(n,0.8)に従いP(X=4)=4P(X=3) である。この2項分布の平均

確率変数 Xは2項分布B(n,0.8)に従いP(X=4)=4P(X=3)
である。この2項分布の平均と分散を求めよ。

この問題の答えを教えてください

No.1 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2025/01/19 22:25

＞確率変数 Xは2項分布B(n,0.8)に従い

「二項分布」ね。
それを n 回試行したときに r 回起こる確率が

　P(n, r) = nCr ･ p^r ･ (1 - p)^(n - r)

と書けることは分かりますか？　教科書にも書いてあるはず。

問題の場合には p=0.8 ということなので

　P(n, r) = nCr ･ 0.8^r ･ 0.2^(n - r)

ということです。

よって、r = 4 のとき
　P(n, 4) = nC4 ･ 0.8^4 ･ 0.2^(n - 4)
r = 3 のとき
　P(n, 3) = nC3 ･ 0.8^3 ･ 0.2^(n - 3)

＞P(X=4)=4P(X=3)

ということは

　nC4 ･ 0.8^4 ･ 0.2^(n - 4) = 4 ･ nC3 ･ 0.8^3 ･ 0.2^(n - 3)

nC4 = n!/[4!･(n - 4)!], nC3 = n!/[3!･(n - 3)!] なので

　n!/[4!･(n - 4)!] ･ 0.8^4 ･ 0.2^(n - 4) = 4 ･ n!/[3!･(n - 3)!] ･ 0.8^3 ･ 0.2^(n - 3)

→　(n - 3)/4 ･ 0.8 = 4 ･ 0.2
→　n - 3 = 4
→　n = 7

従って、
期待値：E[X] = np = 7 ･ 0.8 = 5.6
分散　：V[X] = np(1 - p) = 7 ･ 0.8 ･ 0.2 = 1.12