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No.2ベストアンサー
- 回答日時:
剪断弾性係数(G)は,正方形の剪断変形の幾何学形状によって導きます。
単位長さの辺(辺長=1,対角線長=√(2))を持ち,辺ABを底辺とする正方形(左回りに)ABCDに左から頂点Dに力を加えたら,平行四辺形ABC'D'に変形します。この時,辺ABと辺C'D'は平行のままです。また,この時,角DAD'を(γ)とします。とすれば,頂点Dの移動距離は,δ=tan(DD'/辺長)ですが,辺長は単位長さ,変形角度が十分小さいとすれば,δ=γとなり,δ=DD'=CC'=γです。
ここで,四角形の対角線長は,AC=BDですが,変形後はAC+Δ,BD-Δとなります。また,対角線AC'のひずみ度は,ε=1/E・(σ+νσ)ですので,対角線の伸びは,ひずみ度と対角線長を乗じたものになります。即ち,ΔL=ε・√(2)です。
ここで,対角線ACからAC'に垂線を引き交点をEとすると,AC'=AC+ΔLとなりますが,三角形CEC'は,頂点Eを90度とする2等辺三角形になっていますので,CC'は,CC'=ΔL・√(2)となります。
ここまでを整理しますと,
γ=CC'=ΔL・√(2)=ε・√(2)・√(2)=1/E・(σ+νσ)・√(2)・√(2)
γ=2/E・(1+ν)σ
σ=2(1+ν)/E・γ=γ/G つまり G=E/2(1+ν)となります。
体積弾性率(k)は,1辺を単位長さとする直方体の6面全てに圧力(P)が作用したときの体積ひずみを(εv)としたときの変形後の各辺の長さを(1+εi),i=x,y,zとすれば,体積ひずみは,-(変形後の体積)+(変形前の体積)ですから,
εv=-(1+εx)(1+εy)(1+εz)+1
となります。ここで,この式を解いて,この変形が微小変形であると仮定し2次以上の項を省略すれば,εv=-(εx+εy+εz)となります。
各方向のひずみが等しい(εx=εy=εz)とすれば,
e=-1/E・(-p+ν(p+p))ですから,
ev=-3・1/E・(-p+ν(p+p))
ev=p・3(1-2ν)/E=p/K つまり K=E/3(1-2ν)
となります。
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No.1
- 回答日時:
せん断ひずみエネルギー説という考え方に基づいています.
立方体を考え,x,y,z軸方向にそれぞれ垂直な面を持っているものとし,それぞれの軸方向にσ1,σ2,σ3という応力がかかっている状態を考えます.
このときのひずみエネルギは
U=1/2(σ1ε1+σ2ε2+σ3ε3)とかけます.
また,ひずみε1,ε2,ε3はそれぞれ
ε1=1/E( σ1-νσ2-νσ3)
ε2=1/E(-νσ1+ σ2-νσ3)
ε2=1/E(-νσ1-νσ2+ σ3)
となりますので
U=1/2E(σ1^2+σ2^2+σ3^2-2ν(σ1σ2+σ2σ3+σ3σ1)となります.
これをまとめると
U=(σ1+σ2+σ3)^2/18K+((σ1-σ2)^2+(σ2-σ3)^2+(σ3-σ2)^2)/12G
とまとめることができ,この時のK,Gが体積弾性率,せん断弾性率になります.
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