虚数とは結局なんですか？

以前から疑問なのですが、虚数とは何なのでしょうか？
iであらわされ、二乗すると-1になるなどの事はわかるのですが、想像も付かない世界なので、実感がわきません。
理論上の物であることもわかりますが、もう少し、細かく知りたいのです。
曖昧な質問で申し訳ないのですが、虚数とは何か、教えて頂けると幸いです。

No.11 回答者： oz-boshin 回答日時： 2005/07/02 01:01

複素数について。

もとは２次方程式の解ですね。虚数が認められるにはそれなりの年月を必要としました。
現在ではなくてはならない数字の一つです。

イメージが出来ないのなら、複素数平面の有名な説明があります。

まず、数直線があります。
３という数字は、０から３に伸びる矢印と考えると、
３＋２というのは、０から３に伸ばした矢印の先に、
０から２まで伸ばした矢印をくっつけた、と考えられます。
倍にする場合、たとえは３倍にする場合は、その矢印の長さを３倍にすればいい。
さて、問題は負の倍です。これは、こう考えるのです。
たとえば、３×-1をします。
これは、０を中心として反時計回りにこの矢印をまわして、正反対を向いたところでとめます。
これが-3です。
このように、負の数をかけることを、「０を中心に180度半時計回りする」と決めました。

それでは、この回転を90度の位置で止めたらどうなるのでしょう。
この操作を２回すると、最初１であった数は、-1になります。
１にこの操作をして得られた数をiとおくと、
１×i×i＝-1
つまりi^2=-1となり、
ここに、２乗すると負の数になる数字が発明されたのです。

虚数というのは、日本人が「実数」という言葉に対応させて訳したから悪いのです。
英語では"Imaginary number"すなわち「創造数」なのです。

この回答へのお礼

Imaginary number！！ちょっと格好いい呼び名ですね。
そして、無実数と共に、実感しやすい名前だと思います。（虚数という響きもロマンチックで好きですが）

回転を９０度で止めるという例えは非常にわかりやすく感じました。やはり、つまりは数の広がりなのですね。

お礼日時：2005/07/09 00:43

No.12 回答者： pyon1956 回答日時： 2005/07/03 11:10

#2です。

少々補足と整理をば。
「数というもの」は実数であれ、整数であれ、自然数、虚数であれ実在する「もの」とはいえないと思います。
あえていうなら「もの」の属性、ありように含まれるものでしかありません。
そして、人類がその文化創造の過程でもろもろの必要に応じて作ってきたもののひとつが「数」なわけです。

自然数はかなり自然発生的に生まれたと思いますが、これとて最初は数と言うよりも簡単な対応関係だったと思われます。１、２、たくさん、という体系があるのですが、この場合社会関係が対話する関係のみでなりたっているので（RPGの会話みたいに）私に1個、あなたに１個で2個。あとは他の人に。という感じです。
それが社会の発展により分配の問題が生まれ、自然数や分数が生まれますが、ただし分割不能のものもあって分数は「不安定」でした。（文化により分数の規定を持たない場合がある。たとえば奴隷は半分にわけられないので）

負の数はもっと後まで「理論的なもの」でしかなかったのは当然でしょう。19世紀になってさえスタンダールは「なんで借金を重ねると財産になるんだ」みたいなことを言っている始末で。

そういう意味で虚数（というか複素数）を使わずに計算可能でも使ったほうがずっと解りやすい分野はありますし、行列なんかでエルミートとかユニタリなんてのは虚数を使わずに表現するのは少なくとも困難でしょう。このあたりとかリー群とか使うあたりの量子力学になると複素数を使わないのは不自然でもあり本質的に複素数の世界です。

この回答へのお礼

属性、有りよう、確かにそうですね。
そもそも、”もの”に近い物として捕らえてしまった段階で間違っていたようです。（今思うに、焦点の内側に入ったときに出来る虚像のようなイメージを持っていました）

エルミート、ユニタリについては不勉強な為、わかりませんが、今、猛烈に虚数をもっと勉強してみたい気持ちになっているので、調べてみることにします。

お礼日時：2005/07/09 00:46

No.13 回答者： ruto 回答日時： 2005/07/05 18:09

>虚数とは何なのでしょうか？

一つの考え方として、縦軸に虚軸、横軸に実軸をとり、
原点からa離れた横軸上の点Aとし、そこから上にｂ離れた点をBとし、原点oとすれば三角形OABが出来る。
OBの長さをｃとすればｃは
ｃ＝a＋biと表されます。すなわちbはａに比べて＋90度進んでいることを表します。
ｃにｉをかけるとその時のｃはｃ１とすれば
ｃ１＝－ｂ＋ａｉとなる。また同様にｉをかけると
ｃ２＝－ａ－ｂｉさらにｉを同様にかけると
ｃ３＝ｂ－ａｉ　さらにｉを同様にかけると
ｃ４＝ａ＋ｂｉ即ち元に戻る。
この意味はｉは実数に比べて９０度進んでいることを表し、ｉをかけるたびに９０度回転し、４回かけると、元に戻る。
|c|＝（ａ^2＋ｂ^2）^0.5
向きの異なるものを加えたり、かけたりするとき水平成分と垂直成分に分けて計算するとき虚数ｉは大変便利です。
　ｉは方向を表す物と理解してはどうですか。

この回答への補足

＃１～＃１３の皆さん、本当にありがとうございました。高校で勉強してから、ずっと魚の小骨のように引っかかっていたのですが、これで、少しは掴めてきたような気がします。
沢山の方にお答えいただき、本当に感謝しております。

補足日時：2005/07/09 00:50

この回答へのお礼

”方向を表す物”
私も、皆さんが説明してくださったおかげで、朧気ながらもそのように捕らえ始めました。
確かに、iを使えば、水平成分と垂直成分に分けて考えやすくなります。

これで、ゆっくり眠れそうです。（笑）

お礼日時：2005/07/09 00:48