数学得意な人に偏差値を聞きたいです

ある母集団があり、一つの試験を行ったとする。偏差値を５０から５５に上げるのと偏差値を６０から６５に上げるのは、どちらが難しいでしょうか？
私は「わからない」が答えと思います。数学の得意な人アドバイスお願いします。

No.7 ベストアンサー 回答者： betagamma 回答日時： 2005/07/11 02:48

＞ある母集団があり、一つの試験を行ったとする。

偏差値を５０から５５に上げるのと偏差値を６０から６５に上げるのは、どちらが難しいでしょうか？
うまい質問の仕方ですね。
まず、基本的なことですが、母集団が違うと、偏差値を比較することは、理想的な場合を除いて意味がありません。偏差値とは、「受けた人が全体の中でどのくらいの位置にいるか」を示す指標ですから、全体か受けた人かのどちらかが固定されていないと、意味がないわけです。例えば、「あなたの現在地は、この地図で端から10cmのところです」といわれても、「端」が上下左右どの端なのかわからなければ、意味がありませんね。この「10cm」にあたるのが、偏差値なわけです。
偏差値は、統計的にはz得点といって、受けている母集団の得点分布が、正規分布という分布に従っていると仮定しています。
http://www.u-gakugei.ac.jp/~kishilab/z-score.htm
ここに、詳しい解説が載っています。

ものすごく簡単に言ってしまうと、母集団の得点分布がキレイな山型になっていることを仮定しているわけです。この仮定は、実は非常に問題があるのですが、あえて正しいとすれば、60->65のほうが難しいです。
これは、条件付確率の問題のはずです。以下、計算が間違ってたら言ってください。
比較したいのは、
p(Z>55|Z>50)=p(Z>55,Z>50)/p(Z>50)
=p(Z>55)/p(Z>50)
p(Z>65|Z>60)=p(Z>65)/p(Z>60)
Z=50+10X (XはN(0,1)に従う）
ですから、X=(Z-50)/10なので、
p(X>0.5)/p(X>0)
p(X>1.5)/p(X>1.0)
を比較すればいいはずです。実際に、Rでこの値を求めて見ました。
> pnorm(0.5,lower.tail=FALSE)/pnorm(0,lower.tail=FALSE)
[1] 0.6170751
> pnorm(1.5,lower.tail=FALSE)/pnorm(1.0,lower.tail=FALSE)
[1] 0.4210841
これは、何をいっているかというと、今、偏差値50以上の人がいたとして、その人が偏差値55以上でもある確率は、0.617であるということです。つまり、テストが終わった後に、偏差値50以上の人集まって～と集めたら、10人に6人は偏差値55以上だということです。
偏差値60以上の人で、同じことをすると10人に4人しか偏差値65以上でないという結果になります。
ですので、60->65のほうが難しいです。

ただ、この仮定には、非常な疑問があります。つまり、「テストの点の分布が、正規分布にしたがっている」という仮定に、とても大きな問題があるのです。早い話が、頭のいいグループと悪いグループで２つ山がある場合などは、一切考えていないわけです。２つ山だろうが３つ山だろうが三角だろうが、どのような分布の形をしていようと、みんな強引に、このキレイな山型の分布だと思って考えよう、ということを言っているのです。そういうわけで、かなり無理があると思ったほうがよいでしょう。このように、もし、この正規分布に従うという仮定そのものを疑うとしたら、「わからない」が、答えでいいと思います。

この回答へのお礼

丁寧な解説ありがとうございました。
一応、偏差値が正規分布すると仮定しての質問でした。納得がいきました。

お礼日時：2005/07/12 21:33

No.6 回答者： jjujju 回答日時： 2005/07/08 18:42

#4です。

この条件だけでしたら、おっしゃるとおり
「わからない」が答えです。

この回答への補足

よく考えたのですが、試験をするというのは、人が受けていることと解釈した場合（当然そう解釈できる）、右（上）に行くほど上がりにくくなるかも？っと思ってきました。
偏差値の上がりにくさと偏差値の値の関係を示す指標などってあるのですか？もし、あって上に行くほど上がりにくいという関係がある。と言えるのなら・・・と思ってきました。。。

補足日時：2005/07/08 21:10

No.5 回答者： moto21 回答日時： 2005/07/07 10:59

誤解を恐れずに言えば別問題です。

確率のこと言われて難しいとかのご意見もありますが偏差値で確率分布を考える時はそのランクにいる人の存在確率で厳密さを無視すれば何人いるかだけです。
そこから難しさを考察されることは有益かも知れませんがあくまで存在確率ですので・・偏差値３５と６５は正規分布なら確率は同じですが、テストでの能力や努力と言う視点を踏まえて考えれば６５の方が難しいだけです。


そこで数学的問題ではなく教育学などの分野です。
レベルアップのことを議論するなら別の指標を設けて別の統計を取るべきです。

この回答への補足

なるほど。厳密にいうと偏差値からは、レベルアップという難易度は測定できないと解釈していいですね？
ということは、私の考えである「わからない」が正しいのですよね？

補足日時：2005/07/07 20:30

No.4 回答者： jjujju 回答日時： 2005/07/07 01:00

あげあしをとるわけでは有りませんが、行う試験にも

よりますし、偏差値をあげようとしている人物の能力にも依存してしまいます。

数学的な一般論を導くためには、
・被験者の能力はすべて同じ
・問題の難易度はすべて同じ
（被験者がひとつの問題を解くのは単純に確率的な場合）
という条件が必要ではないでしょうか。
この条件のもとでは、いままでの皆さんの解答と同じように50→55の方が簡単だと思います。

なぜこういう条件が必要かというと、平均点が30点くらいの試験で、30点から40点に
あげて、ようやく偏差値が50→55になる場合でも、
85点から87点に上げる程度で偏差値が60→65になることは
ありえます。しかし、この場合でも、30点から40点にあげるのと、85点から87点にあげるのがどちらが難しいかということは、一般にどちらともいえないと思うからです。

この回答への補足

なるほど。では、「わからない」という私の解答で正しいと言えるのですね。

補足日時：2005/07/07 20:26

No.3 回答者： springside 回答日時： 2005/07/06 21:45

当然、「６０→６５」の方が、「５０→５５」よりも難しいです。

この回答への補足

当然なんですか。
「人により違う」と言えないのかな～？
数学的（統計学）的には、やはり「６０→６５」の方が、「５０→５５」よりも難しいのですね。

補足日時：2005/07/06 21:54

No.2 回答者： noname#20618 回答日時： 2005/07/06 21:40

40名くらいのクラスでみんなが、30点で一人だけ

100点満点だった場合、偏差値80を越すことは
あると思います。
偏差値を５０から５５に上げるのと偏差値を６０から６５に上げるのでは、前者の方が
簡単だと思います。さらには、偏差値の計算と
関係ない話ですが、５段階評価で1だった子を
3にする方が、3から4に上げるよりはずっと
簡単ですね。1を取っていた子は、まるで勉強して
いなかったわけで、普通の知能の子なら、人並みに
勉強したら、たいてい3ぐらいはいくと思います。

この回答への補足

ありがとうございます。
５段階評価の例がとてもわかりやすくて参考になりました。自分ははじめ「わからない」が答えと思っていましたが、直感的にも前者の方が簡単だと思います。しかし、その直感をどうやって説明するのかがわかりません。

補足日時：2005/07/08 21:17

No.1 回答者： sunasearch 回答日時： 2005/07/06 21:30

先ほどの質問と同様に、集団の中心からより遠くに行く方が難しいと思います。

１００m走で地球人のタイムの偏差値を考えるのと同じで、偏差値とは平均からのずれを表しています。
より大きなずれを出す方が難しいです。

母集団によっては、試験で満点をとっても偏差値６５にはならないですよ。

この回答への補足

なるほど！！一般的にそう言えるように思えてきました。確率密度が違うからという理屈でもいいでしょうか？（この場合は）
数学的には言えるでしょうね。。。

ある偏差値を上げたいと思う特定個人の潜在能力など特別な人がいる場合は例外ですよね？
例外がいるかもしれない。例外が主人公であると考えると必ずしもそういえないですよね。。。
しかし、一般的に言えるか？では「言える」の解釈でいいのでしょうか？

補足日時：2005/07/06 21:42