4次元の物体(楕円体)の正射影の求め方を教えてください.

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A 回答 (1件)

4次元(の物体)上の1点P=(p1,p2,p3,p4)


から
4次元平面
(a,x-s)=0
a=(a1,a2,a3,a4)
x=(x1,x2,x3,x4)
s=(s1,s2,s3,s4)
(|a|=a1^2+a2^2+a3^2+a4^2=1とする)
への正射影をQとする
A=
(1-a1^2,-a1a2,-a1a3,-a1a4)
(-a2a1,1-a2^2,-a2a3,-a2a4)
(-a3a1,-a3a2,1-a3^2,-a3a4)
(-a4a1,-a4a2,-a4a3,1-a4^2)
とすると
Q=A(P-s)+s
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Q3次元物体1から3次元物体2への座標変換式

3次元物体1から3次元物体2への座標変換式
ある円柱の表面(側面、上下面)に分布する適当な点群を、別の場所の歪んだ円錐の側面に移動させたいと思っています。円柱は通常のいわゆる円柱ですが、円錐は通常の円錐を異なる2つの面でカットしたような形(円錐帯?)となっており、カットした面は平行ではありません。しかも円錐が歪んでおり中心軸は底面に直角ではありません。でも円柱の上下面はこの円錐帯の上下面に対応させ、円柱の側面は円錐帯の側面に対応させるような変換をする必要があるんです。ある空間を歪ませるような変換式になるかと思われますが、その考え方がわかりません。変換式の作り方のコンセプトのようなものを教えていただけないでしょうか。よろしくお願いいたします。図も添付させていただきました。

Aベストアンサー

考え方だけですが。

円柱の上面を円錐帯?の上面に変換する変換式は、座標系の移動・回転・拡大縮小で求めることができます。
下面の変換式も同様に求められます。
円柱の上下面の変換はこれでできます。

円柱の側面の変換は、
円柱の上面、下面のZ座標をz1,z2、側面の点の座標を(x0,y0,z0)とするとき、
z0=tz1+(1-t)z2 と表せば、
上面の点(x0,y0,z1)を変換した座標を(x3,y3,z3)、
下面の点(x0,y0,z2)を変換した座標を(x4,y4,z4)とすれば、
(x0,y0,z0)の変換座標は、
(tx3+(1-t)x4,ty3+(1-t)y4,tz3+(1-t)z4)
として求めることができます。
(側面に限らず任意の点の座標がこの方法で変換できます)


ただし、変換のしかたは一通りではないので、別の方法では別の座標になることもあります。

Q4次元空間の4つのベクトルが張る空間が1次元、2次元、3次元、4次元である条件

4次元空間にゼロベクトルでない4つのベクトルを考えます。
a↑=(a[1],a[2],a[3],a[4])
b↑=(b[1],b[2],b[3],b[4])
c↑=(c[1],c[2],c[3],c[4])
d↑=(d[1],d[2],d[3],d[4])
とします。
これらのベクトルで張られる空間が1次元、2次元、3次元、4次元である条件を求めたいのです。
各ベクトルを並べて行列(a↑ b↑ c↑ d↑)を作り、基本変形で階数を計算するというアルゴリズムではなく、各成分の代数的な関係を求めたいのです。

4つのベクトルで張られる空間が4次元のとき、超体積が0ではないので、行列式
|a↑ b↑ c↑ d↑|≠0

4つのベクトルで張られる空間が1次元のとき、すべて平行なので、
a↑∥b↑∥c↑∥d↑

a[1]:a[2]:a[3]:a[4]=b[1]:b[2]:b[3]:b[4]=c[1]:c[2]:c[3]:c[4]=d[1]:d[2]:d[3]:d[4]

(a[1]/a[4],a[2]/a[4],a[3]/a[4])=(b[1]/b[4],b[2]/b[4],b[3]/b[4])
=(c[1]/c[4],c[2]/c[4],c[3]/c[4])=(d[1]/d[4],d[2]/d[4],d[3]/d[4])

このあと、一つの式にする、つまり、イコールを一つだけにしてきたいのですが、複雑そうです。行列式またはシグマ記号を使って、表記できないでしょうか?

4つのベクトルで張られる空間が2次元、3次元のとき、それぞれの各成分にはどういった関係式があるのでしょうか?

4次元空間にゼロベクトルでない4つのベクトルを考えます。
a↑=(a[1],a[2],a[3],a[4])
b↑=(b[1],b[2],b[3],b[4])
c↑=(c[1],c[2],c[3],c[4])
d↑=(d[1],d[2],d[3],d[4])
とします。
これらのベクトルで張られる空間が1次元、2次元、3次元、4次元である条件を求めたいのです。
各ベクトルを並べて行列(a↑ b↑ c↑ d↑)を作り、基本変形で階数を計算するというアルゴリズムではなく、各成分の代数的な関係を求めたいのです。

4つのベクトルで張られる空間が4次元のとき、超体積が0ではないので、行列式
|a↑ b↑...続きを読む

Aベストアンサー

失礼しました。
とすると、
rankA=4 |A|≠0
rankA=3 Aの3次小行列式の中に0でないものがある。
     かつ、|A|=0

rankA=2 Aの2次小行列式の中に0でないものがある。
     かつ、3次小行列式がすべて0かつ|A|=0

rankA=1 Aの1次小行列式の中に0でないものがある。
     かつ、2次小行列式、3次小行列式が0、かつ|A|=0

任意のr次小行列式を|Ar|で表しても、
rankA=1のときは、
a1*a2*a3*a4*b1*・・・*d3*d4≠0
かつ
|A2|=|A3|=|A|=0(|A2|は36通り、|A3|は9通り)
|A2|=0の条件だと、4×4の成分をaijと書いて、
Σ[i=1,3]Σ[j=2,4,i<j]Σ[k=1,3]Σ[l=2,4,k<l]|(aik*ajl-ajl*aik)|=0
とでも表記できますが、
1つのイコールではちょっときついんではないでしょうか?

Q正四面体に内接する4個の球の半径の求め方

正四面体に内接する4個の球の半径の求め方

「1辺の長さが6の正四面体ABCDがある。
頂点Aから底面BCDへ引いた垂線の足をHとする。
また、直線BHと辺CDとの交点をMとする。
半径がrの球が4個あり、どの球も他の3個の球と接しており、また、正四面体ABCDはこの4個の球を内部に含み、四面体のどの面も3個の球と接している。
このとき、rの値を求めなさい。」

について、同じ質問をしている方がいましたが、『高校への数学』では
対称性を用いて解答していました。
「正四面体の対称面(2頂点A、Dと辺BCの中点を含む面)で考えると、4個の
球のうち2個の中心がその面上に存在し・・・」と解説してました。
ここでわからないのが、なぜその対称面上に2個の球の中心が存在するのか
というところです。
クラスの人に聞いても、「対称性から明らか」と言われてそれ以上詳しく聞けません。
この「対称性から」という、何でもかんでもひっくるめた言い方がいつも気持ち悪く感じます。
私が納得したいのは、
○ こう言う理由で、2個の円の中心が対称面に存在する
○ こう言う理由で、対称性(面対称、点対称、回転対称)というものが言える(いきなり「対称性から・・・」ではなく)
です。
面倒くさい質問かもしれませんが、よろしくお願いします。

正四面体に内接する4個の球の半径の求め方

「1辺の長さが6の正四面体ABCDがある。
頂点Aから底面BCDへ引いた垂線の足をHとする。
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半径がrの球が4個あり、どの球も他の3個の球と接しており、また、正四面体ABCDはこの4個の球を内部に含み、四面体のどの面も3個の球と接している。
このとき、rの値を求めなさい。」

について、同じ質問をしている方がいましたが、『高校への数学』では
対称性を用いて解答していました。
「正四面体の対称面(2頂点A、Dと辺BCの中...続きを読む

Aベストアンサー

文章のみなので、分かりにくいかもしれませんが、


頂点Aから各辺に同じ長さ(球を切断するくらいの長さ)の点をとり、各点を結ぶ面で切断した断面を考えてみます。
この断面は正三角形(正四面体の断面)とその重心を中心とする円(球体の断面)になります。

各頂点をbcd(bは正四面体の辺ABの断点)とすれば、各頂点から対辺の中点を結ぶ線上に円の中心があることはわかりますよね?
切断面はどこでとっても良いので(対象とする球を切断できる範囲で)、球の中心を通る面で切断したときも同様に中心はこの線上にあります。
この時、dから引いた円の中心を通る直線を考えてみると、正四面体のADを通りBCの中点を通る面の切断面(線)になっていることになります。

頂点Dについても同様のことが言えるので、同じ面上(ADを通りBCの中点を通る面)に2個の球の中心が存在することになります。

Q4次元版 正四面体 の展開図

教えてください。
小5のこどもが、「4次元って 立体+時間なんでしょ?」なんて 生意気なことを聞いてきたので、「時間って決まってないんじゃないかな?」と返してやりました。で、「4次元の立方体の展開図は立方体が8つくっついたものに違いないのではないか?」(これは ネット上にあったページの受売りで 私はきちんとわかっていない状況です。)と言ったら、数日後に「4次元の正四面体の展開図は 3次元の正四面体の4つの面に3次元の正四面体がくっついたものでしょ?だって、三角形を展開すると 辺が3つ、正四面体を展開すると 面が4つ、なら 4次元版正四面体を展開すると 立体が5つになるはず」と言ってきました。その後「なんで、球(面)は平面に展開できないのに、円(周)は線にできるんだろう?4次元の球は 3次元に展開できるのかな?」と質問してきました。もう、私は答えられません。参考文献などありましたら紹介してください。
私は、理系ですが 数学・物理は専門ではありません。
親の威厳を保つためではなく、単にこどもの疑問に答えたいと言う状況です。
よろしくお願いします。

教えてください。
小5のこどもが、「4次元って 立体+時間なんでしょ?」なんて 生意気なことを聞いてきたので、「時間って決まってないんじゃないかな?」と返してやりました。で、「4次元の立方体の展開図は立方体が8つくっついたものに違いないのではないか?」(これは ネット上にあったページの受売りで 私はきちんとわかっていない状況です。)と言ったら、数日後に「4次元の正四面体の展開図は 3次元の正四面体の4つの面に3次元の正四面体がくっついたものでしょ?だって、三角形を展開すると 辺...続きを読む

Aベストアンサー

三次元での多面体に相当するものを、高次元では多胞体と呼びます。
四次元で胞数が最小の正多胞体が正5胞体というのはあっています。
(参考URL)

「展開」の意味が質問者さんとNo.2さんとで違っているように思います。
三次元球以上の表面ではリーマンの非ユークリッド幾何に相当するものが
成り立ちます。平面上ではユークリッド幾何が成り立ちますから、前者の
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参考URL:http://hp.vector.co.jp/authors/VA030421/fdd03.htm

Q直線に対する対称点の求め方(正射影)

【問題】「直線l:5x+2y+1に対するl上にない点P(p,q)の対称点Rを求めよ。」

【私の考え方】
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http://oshiete1.goo.ne.jp/qa5536137.html
答えが一つに絞れるので答えが2つになったり、場合分けをしたりすることはないと思うのですが・・・。

PH↑さえ出せればRの座標は容易なのですが、
PH↑が(1)と(2)のどちらになるか分かる方、よろしくお願い致します。

Aベストアンサー

解法を指定されてないなら、ベクトルなんか不要。

R(α、β)、5x+2y+1=0 ‥‥(1)とする。
【1】PRの中点が(1)上にあるから、5*(p+α)/2+2*(q+β)/2+1=0 ‥‥(2)
【2】直線(1)と直線PRが直交するから、(-5/2)*{(β-q)/(α-p)}=-1 ‥‥(3)

後は、(2)と(3)を連立してαとβについて解くだけ。


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