螺線の方向をz軸、半径方向をx、y軸として一定長の螺線をz軸方向に引っ張って伸ばした場合、半径(r)は、短くなり、反対にピッチl(エル)は長くなります。この半径とピッチの関係式について教えてください。
 なお、ピッチlとは螺線がx-y平面で見たとき、1回転するときのz軸方向の距離です。

A 回答 (2件)

この条件だけでは決まりません。

ここで言う「螺線」とは平面図形の螺旋(spiral)ではなく、つるまきばねの形(helix)のようです。  (1)半径rの筒に巻き付いていて、筒の軸にそって一周ごとにlだけ進むねじになっています。半径r、全長Lの円筒にN回巻き付いているこのようなバネを一本持って来ると、ばねを構成している長さはD=sqrt{(2πrN)^2 + L^2}で、つる自体は伸び縮みしないものとすればDは不変です。ここでピッチlはl=L/Nですね。  (2)さて、バネを引っ張って延ばすやりかたは一通りではない。2つの自由度があるんです。 (a) 頭としっぽをつまんで、これを長さLは同じのまま、頭だけをz軸の周りでねじることができる。こうすると当然半径r、ピッチlも変わります。もともとN回巻き付いていたのが、N’回になったとすると、D=sqrt{(2πrN)^2 + L^2}=sqrt{(2πr’N’)^2 + L^2}という関係式を満たすようにrがr’に変化します。そして今度のピッチl’はl’=L/N’ですね。 (b)次に巻き付き回数を維持したまま、ぐいと引っ張って、全長をL’に変化させることができる。するとD=sqrt{(2πrN)^2 + L^2}=sqrt{(2πr’N’)^2 + L^2}=sqrt{(2πr”N’)^2 + L’^2}という関係式を満たすように、半径がr”に変化する。今度のピッチl”はl”=L’/N’になります。
(3) 実際の鋼鉄製のバネでも、端が自由に回転するようになっている(Nを変えられる)場合と、Nが不変の場合とでは振る舞いが違います。前者の場合、バネを作っている針金に掛かる曲げと捻れ(バネの巻き付きではありません)のエネルギーの和が最小になるように落ち着きます。「でも後者なら、半径は一意的に決められる」と思ったら大間違いで、バネの半径が何処でも同じ、というのはエネルギー的に最小ではない。むしろこっちの方が解析が難しいです。ここから先は機械工学の教科書を見た方が良いでしょう。
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この回答へのお礼

stomachmanさん
お礼が大変遅くなり申し訳ありませんでした。いろいろ忙しくて検討する時間がなく失礼しました。
 さて、stomachmanさんのご回答は、大変わかりやすく理解することが出来ました。ありがとうございました。螺線ということでむずかしく考えてしまいましたが、stomachmanさんの言われるとおり、展開すれば、簡単なピタゴラスの定理になるのですね。もちろん、捻れとか、回転を与えれば複雑な解析が必要になると思われますが、今回は、単純な1次解が欲しかったものですから、これで十分です。本当にありがとうございました。
 では、今後ともよろしくお願いいたします。
                      tn238

お礼日時:-0001/11/30 00:00

角度を t とすれば、 dx/dt = cos t, dy/dt = sin t, dz/dt = t l / 2π です。

これを基にして螺旋の長さ L を計算すると

L = ∫√{(dx/dt)^2 + (dy/dt)^2 + (dz/dt)^2} dt

です (積分範囲は 0 から 2π)。これを計算すると

L = 4π(r^2 + l t / 2π)^(3/2) / 3l

のようになるでしょう。(計算あってるか???)
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この回答へのお礼

vmlinuzさん
 お礼が大変遅くなり申し訳ありませんでした。いろいろ忙しくて検討する時間がなく失礼しました。
 ご回答ありがとうございました。
さて、ご回答についてですが、次の点がよく理解出来ませんでした。
3次元空間での原点からの角度をtとすれば、dtも3次元なので
  dx/dt=cost
というように単純には表現できないのではないかと思います。dtのx-y平面への投影長をdt'として
  dx/dt'=cos(π/2-t)
としなければならないのではないか、したがって、dtとdt'の関係も規定しないといけないと思われますので、ちょっと複雑になると思います。
 小生の間違いかも知れませんので、また、ご教示いただければ幸いです。
 では、今後ともよろしくお願い申し上げます。
                        tn238

お礼日時:-0001/11/30 00:00

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半径rの円筒に巻きつけた糸をもどしながらできる螺旋上のある点から別の点までの周長の算出方法を知りたいのですが、どなたかご教示ください。なお、当方、高校程度の数学しか知識がありません。できるだけ、やさしくおねがいしたいのですが。

Aベストアンサー

No.2 の mame594 さんが正しい答を出しておられると思います.

これはいわゆる伸開線(インボリュート,involute)と呼ばれる問題です.
糸を巻き付ける図形は円
(質問文では円筒になっていますが,2次元平面で考えればよいので円で十分です)
だけでなくて,いろいろな図形が可能です.

さて,mame594 さんの長さの式
(1)  s = ∫[0→α] {(1+3θ^2+θ^4) / (1+θ^2)}^(1/2)} dθ
は正しい式(私も同じ答になりました)と思いますが,
積分結果は初等関数の組み合わせでは表せません.
この種の積分は一般に楕円積分と呼ばれる積分の組み合わせで表現されます.

ちょいと数値積分をしてみました.
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α=π   s = 6.54664
α=2π   s = 22.0094
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半径 a なら,上の数値を a 倍して下さい.

今の螺旋はアルキメデスの螺旋とは違います.
アルキメデスの螺旋は
(2)  r = bθ
であらわされます.
LP レコードの溝がほぼアルキメデスの螺旋になっています.

他に,対数螺旋(ベルヌーイ螺旋)
(3)  r = e^(cθ)
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(4)  r = d/θ
があります.

No.2 の mame594 さんが正しい答を出しておられると思います.

これはいわゆる伸開線(インボリュート,involute)と呼ばれる問題です.
糸を巻き付ける図形は円
(質問文では円筒になっていますが,2次元平面で考えればよいので円で十分です)
だけでなくて,いろいろな図形が可能です.

さて,mame594 さんの長さの式
(1)  s = ∫[0→α] {(1+3θ^2+θ^4) / (1+θ^2)}^(1/2)} dθ
は正しい式(私も同じ答になりました)と思いますが,
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Q螺旋の計算方法

ど素人で恐縮です。
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「螺旋」には、大別して2種類あります。2次元平面曲線の渦巻き模様であるspiralと、3次元空間曲線であってねじ山のようなhelixです。等角螺旋はspiralの方。描きたいと仰っているのはどうもhelixの方ですから、話が食い違っています。よく「等角らせんは、オウム貝やかたつむり などの殻,ヤギの角などの形」と説明されるのは、モノを2次元図形と見たときの大雑把な話ですから、そのまんま真に受けちゃいけません。

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です。(aは巻きの強さを変える係数です。)
 これを、例えばタニシやでんでん虫やツノの形に立体化するにはどうするか。
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z=g(t)
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r(θ,t)= f(t)exp(aθ)
z(θ,t) = b g(t)exp(aθ)
と表せます。
 カラの断面の大きさを小さくすれば角のようになるし、大きくすればタニシになる。b=0ならアンモン貝の形です。aを小さくするとぐるぐる巻きに、大きくすると鳥の爪のように、と言う風に、いろんな形が作れますね。

「螺旋」には、大別して2種類あります。2次元平面曲線の渦巻き模様であるspiralと、3次元空間曲線であってねじ山のようなhelixです。等角螺旋はspiralの方。描きたいと仰っているのはどうもhelixの方ですから、話が食い違っています。よく「等角らせんは、オウム貝やかたつむり などの殻,ヤギの角などの形」と説明されるのは、モノを2次元図形と見たときの大雑把な話ですから、そのまんま真に受けちゃいけません。

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Qらせん階段の手すりの長さ

らせん階段の手すりの長さを出したいのですが、計算式がわかりません。
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Aベストアンサー

階段の半径をR、らせんを1回回る間に上る高さをTとすると、1回回る分の手すりの長さは、直角をはさむ2辺の長さが2π(パイ)RとTである直角三角形の斜辺の長さ、つまり {(2π(パイ)R)の2乗+Tの2乗}の平方根 になります。これで階段の全高さをH、高さHまでN回回って到達するとすると、H=N×T から T=H÷N なので、手すりの全長は {(2π(パイ)R)の2乗+(H÷N)の2乗}の平方根×N になります。

QNをkgに換算するには?

ある試験片に40kgの重りをつけた時の荷重は何Nをかけてあげると、重り40kgをつけたときの荷重と同等になるのでしょうか?一応断面積は40mm^2です。
1N=9.8kgfなので、「40kg=N×0.98」でいいのでしょうか?
ただ、式の意味がイマイチ理解できないので解説付きでご回答頂けると幸いです。
どなたか、わかる方よろしくお願いします。

Aベストアンサー

こんにちは。

kgfはSI単位ではないですが、質量の数値をそのまま重さとして考えることができるのがメリットですね。


>>>
ある試験片に40kgの重りをつけた時の荷重は何Nをかけてあげると、重り40kgをつけたときの荷重と同等になるのでしょうか?

なんか、日本語が変ですね。
「ある試験片に40kgの重りをつけた時の引っ張りの力は何Nの力で引っ張るのと同じですか?」
ということですか?

・・・であるとして、回答します。

40kgのおもりなので、「おもりにかかる重力」は40kgfです。

重力は万有引力の一種ですから、おもりにも試験片にも、地球からの重力はかかります。
しかし、試験片の片方が固定されているため、見かけ、無重力で、試験片だけに40kgfの力だけがかかっているのと同じ状況になります。

試験片にかかる引っ張り力は、

40kgf = 40kg×重力加速度
 = 40kg×9.8m/s^2
 = だいたい400N

あるいは、
102グラム(0.102kg)の物体にかかる重力が1Nなので、
40kg ÷ 0.102kg/N = だいたい400N


>>>1N=9.8kgfなので、「40kg=N×0.98」でいいのでしょうか?

いえ。
1kgf = 9.8N
ですね。


>>>一応断面積は40mm^2です。

力だけでなく、引っ張り応力を求めたいのでしょうか。
そうであれば、400Nを断面積で割るだけです。
400N/40mm^2 = 10N/mm^2 = 10^7 N/m^2
1N/m^2 の応力、圧力を1Pa(パスカル)と言いますから、
10^7 Pa (1千万パスカル) ですね。

こんにちは。

kgfはSI単位ではないですが、質量の数値をそのまま重さとして考えることができるのがメリットですね。


>>>
ある試験片に40kgの重りをつけた時の荷重は何Nをかけてあげると、重り40kgをつけたときの荷重と同等になるのでしょうか?

なんか、日本語が変ですね。
「ある試験片に40kgの重りをつけた時の引っ張りの力は何Nの力で引っ張るのと同じですか?」
ということですか?

・・・であるとして、回答します。

40kgのおもりなので、「おもりにかかる重力」は40kg...続きを読む

Q渦巻き スパイラルの長さ

ほぼ正方形状の一定の面積内に渦巻状の通路を形成したい場合、通路の幅が判っているなら、どの程度の長さまのものまで形成できるか。また一定の長さと幅の通路を渦巻状に形成したい場合、どの程度の正方形状の面積が必要になるか等、について、計算式で求められるでしょうか。そのような計算式が有るようでしたら、教えて下さい。

Aベストアンサー

概算で良ければ簡単に計算できます。


正方形の一片の長さを a
通路の幅を b
通路の長さを n
とします。

1)正方形に内接する円の面積は π*(a/2)*(a/2)
2)渦巻きの面積は b*n
3)これらが等しいので b*n=π*(a/2)*(a/2)
4)従ってn=π*(a/2)*(a/2)/b

これで求められます。このとき、aが一定ならbが小さければ小さいほど正確な値が求まります。
逆に渦巻きの長さから正方形の面積も計算できますよね。

また、上記は円状の渦巻きを考えましたが、正方形状の渦巻きの場合も考え方は同じです。

Qスクリューコンベアの計算

590φ×ピッチ300のスクリューコンベアの羽根を作りたいのですが、平面にした場合の外径がどれくらいになるかわかりません。
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宜しくお願いします。

Aベストアンサー

まだ、ご覧になって居られるか不安ですが・・・。
下記の条件を提示しないと答えは出ませんので、宜しく。

1) 材質  (SS、SUS304など)
2) 羽根の板厚
3) 出来上り寸法(内径、外径 今回の場合外径φ590と思われますが・・・。)
4) 形状 (ストレート、テーパーなど)

シャフトに巻きつけるタイプであれば、板取時に外径よりも内径の方が重要となります。

あと、色々な計算ソフトが、フリーのものから高価なものまでありますが、私の経験上、近似値まではたどり着きますが、ピッタリくる物はありません。材質の伸びによってもかなりバラツキがあります。
シャフトに溶接取付する場合は精度が荒いと、歪の原因となりますから特に注意が必要と思われます。

故に、過去の製作データがすべてとなっています。(内径、外径共に旋盤加工の場合はこの限りではありませんが・・・。)

長くなりましたが、漠然とした板取の寸法を求められているのでしたら、展開ソフトでOKだと思います。
製作目的であれば、何度か試作して寸法を出しレーザーやプラズマにて板取するのが宜しいかと。

まだ、ご覧になって居られるか不安ですが・・・。
下記の条件を提示しないと答えは出ませんので、宜しく。

1) 材質  (SS、SUS304など)
2) 羽根の板厚
3) 出来上り寸法(内径、外径 今回の場合外径φ590と思われますが・・・。)
4) 形状 (ストレート、テーパーなど)

シャフトに巻きつけるタイプであれば、板取時に外径よりも内径の方が重要となります。

あと、色々な計算ソフトが、フリーのものから高価なものまでありますが、私の経験上、近似値まではたどり着きますが、ピッタリくる物はあ...続きを読む

Q螺旋の半径の計算式について

半径2770で180°の高さ5415.48の場合、螺旋の半径の答えを教えて下さい。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

基準となるXY平面に半径2770の円を書きます。
Z軸に180度で高さが5415.48の高さの螺旋を書いた場合

半径 R=2770とし 角度をαとします。
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x=R×cosα
y=R×sinα
Z=5418.48×(α÷180)
です。

よって半径はRは2770です。

螺旋だからといって2770はかわりません。
半径は一平面上のものです。

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 円錐のある面上の1点から底面のある1点上までのらせん状の曲線の最短経路の長さを求める という問題を解いているのですが、どうやって求めたらよいですが?軌跡を使って求めることは想像がつくのですが...
 ちなみに円錐の頂点から上に述べた2点は直線上にあり、底面の円周の長さと、頂点から点までの距離は分かっています。もし何か提案をしていただけるとありがたいです。

Aベストアンサー

展開図を書いて、その点を直線で結べばいいのですが

>>底面の円周の長さと、頂点から点までの距離は分かっています

これだけの情報では求められないような気がします。
円錐の頂点から円周上の点のまでの距離もわからないともとめられないのでは?もしそれがわかっているなら(その長さを母線といいますが)底面の円周の長さがわかっているならその、半径も求まるので母線分の半径×360が展開したときの側面の扇形の中心角になります。そこで、頂点から円錐上までの点をLとして
余弦定理をもちいて求めることができるとおもう、、。たぶん、、、。

Qインボリュート曲線の式

インボリュート曲線の式が
x=a(cosθ+θsinθ)
y=a(sinθ-θcosθ)
とどのようにして導けるのか教えてください。

Aベストアンサー

インボリュート(伸開線)
半径aの円に伸び縮みしない糸が巻かれていると考える。
円周上の点P(acosθ,asinθ)を取る。
円の中心をOとして、円周とOx軸との交点Aからこの糸をほぐしていくものとする。
このとき、ほぐしていく点Q(x,y)の座標は角POA=θとすれば、PQ=弧PAとなる。弧PA=aθだから
x=acosθ+aθ・sinθ=a(cosθ+θsinθ)
y=asinθ-aθ・cosθ=a(sinθ-θcosθ)
で表される


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