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半径rの円柱に厚みtのベルトを角度θ巻きつけた時の長さLを求めたいので求め方を教えてください。
ベルトを巻き付けた時の半径は巻きつけるたびに大きくなっていくものとし、アルキメデスの螺旋に従うものと考えてください。
 私はL=∫r(θ)dθと考え計算したのですが、計算が間違っているのか一向に妥当そうな値を導くことができませんでした。
可能でしたら計算過程の導出も記載していただけると助かります。
宜しくお願いいたします。

私はr(θ)=tθ+rとして計算を試みました。
もし見当違いでしたらご指摘いただけますと幸いです。

質問者からの補足コメント

  • どう思う?

    回答ありがとうございます!捕捉させてください。
     私の説明が稚拙で誤解を招いてしまったか、私の理解が追い付かず応用ができていないのか。
    もうしばらくお付き合いいただければ幸いです。
     私が知りたいのは添付画像の左の螺旋の長さを求める式です。
    CADで描画し長さLを解析したところ、計算と解析結果が合いませんでした。
    (CADと計算が大きくずれてしまいました。)
     ご教授頂いた式で積分を試みたら以下のようになりました。
    ∫√(1+θ^2 ) dθ=1/2 {θ√(1+θ^2 )+log⁡(θ+√(1+θ^2 )) }
    これですと右の螺旋の長さを求める式になるかと思います。
     左の螺旋の長さを求める式を初期半径r、ピッチt、角度θで表すとどのような式になりますか?
    もし、私が思い違いをしている、不明な点等ございましたらご指摘お願いいたします。

    「半径rから始まるアルキメデスの螺旋の長さ」の補足画像1
      補足日時:2017/05/09 00:48

A 回答 (3件)

L=∫r(θ)dθ ではなくて、L=∫√{(rdθ)^2 + dr^2} = ∫√(1+θ^2)dθ


で計算しないと駄目です。

なぜ、微小な線分を rdθ としては駄目で √{(rdθ)^2 + dr^2} とすればOKなのかは、真面目に考え出すとなかなか難しいです。

一般に、積分する変数(この場合はd(rθ))の次元と、積分の結果求めたい値(この場合は螺旋の全長)の次元との差を「余次元」と言ったりしますが(物理の余次元とは全く意味が違うので注意)
この、余次元が0の場合(積分する変数と、求めたいものの次元が同じ場合)は、かなり気をつけて積分しないといけません。
したアルキメデスの螺旋くらいならまだよいですが、世の中にはフラクタルとか、もっとワケワカラン図形もあるんで。。
逆に、余次元が正の値の場合(例えば、長さの変数を積分して図形の面積を求めたいなど)であれば、かなり適当に式を立てても合います。
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    • 1
この回答へのお礼

素早い回答ありがとうございます!
よろしければ引き続き付け足しました捕捉についてお付き合いいただければ幸いです。
ご指導お願いいたします。

お礼日時:2017/05/09 01:03

極座標を使った場合の一般的な式は #1 にある


L=∫√{(rdθ)^2 + dr^2}
だから, これを使って計算すればいい.

概略では断面積を求めればいいだけなんだよな.
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    • 0
この回答へのお礼

ありがとうございます
断面積をtで割って概略の長さを得ることができました。
精度的には十分で簡易な方法として利用したいと思います。

お礼日時:2017/05/09 23:40

逆にいうと「まじめに考えださなければさほど難しくない」ともいえるわけで, 例えば直交座標で


dL^2 = dx^2 + dy^2
を認めるなら x, y を θ で書き直すだけだったりする.
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    • 0
この回答へのお礼

ありがとうございます。
sinとcosで置き換え、別の視点で解くという事ですね。

お礼日時:2017/05/09 00:50

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これはいわゆる伸開線(インボリュート,involute)と呼ばれる問題です.
糸を巻き付ける図形は円
(質問文では円筒になっていますが,2次元平面で考えればよいので円で十分です)
だけでなくて,いろいろな図形が可能です.

さて,mame594 さんの長さの式
(1)  s = ∫[0→α] {(1+3θ^2+θ^4) / (1+θ^2)}^(1/2)} dθ
は正しい式(私も同じ答になりました)と思いますが,
積分結果は初等関数の組み合わせでは表せません.
この種の積分は一般に楕円積分と呼ばれる積分の組み合わせで表現されます.

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α=π   s = 6.54664
α=2π   s = 22.0094
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半径 a なら,上の数値を a 倍して下さい.

今の螺旋はアルキメデスの螺旋とは違います.
アルキメデスの螺旋は
(2)  r = bθ
であらわされます.
LP レコードの溝がほぼアルキメデスの螺旋になっています.

他に,対数螺旋(ベルヌーイ螺旋)
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や,双曲線螺旋
(4)  r = d/θ
があります.

No.2 の mame594 さんが正しい答を出しておられると思います.

これはいわゆる伸開線(インボリュート,involute)と呼ばれる問題です.
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(質問文では円筒になっていますが,2次元平面で考えればよいので円で十分です)
だけでなくて,いろいろな図形が可能です.

さて,mame594 さんの長さの式
(1)  s = ∫[0→α] {(1+3θ^2+θ^4) / (1+θ^2)}^(1/2)} dθ
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純粋数学の研究ではないのですが、数学をかなり使います。

数学的には、あなたが完全に正しいです。
数学的には、先生が完全に間違っています。
(一切の余地なくです)

「=」の記号は方程式を意味し、方程式は「両辺が等しいこと」以外の意味は一切持ちません。
「段落の使い方」や「幅」や「改行」によって、異なる意味を持たせるなどというルールは
ありません。
(「=」の記号を、世間の定義とは別に新たに定義すれば別です。)

ですが、そういう先生は、自分の間違いを認めません。
表面的でいいですから、間違いを受け入れましょう。
別の先生に言ったところで、その先生のプライドを傷つけて、目をつけられるだけです。

数学は、「正しいこと」が理解できていれば十分です。
テストの点数なんてどうでもいいじゃないですか。
数学なんですから、正しければそれでいいんです。
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「大嫌いなあの先生に一泡吹かせる」
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「間違い」には出来ないと思います。

公的な研究機関の研究者です。
純粋数学の研究ではないのですが、数学をかなり使います。

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数学的には、先生が完全に間違っています。
(一切の余地なくです)

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「段落の使い方」や「幅」や「改行」によって、異なる意味を持たせるなどというルールは
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-----------------------------------------------
>素数という概念内では根号の中身が負になってもいいのかなと
>思っていたのですが、違うのですか?ご回答宜しくお願いします!

複素数まできちんと学んでいますね?
根号の中身は負で大丈夫です。自信をもってください。
これまでは根号の中身が負の数はNGでした。
これからは、根号の中身が負であってもOKです。
-------------------------------------------------
でも「負の数の根号」とがOKなことと
「負の数の根号」×「負の数の根号」の“計算”が
今まで通りOKなことは違うということです。

つまり、根号の中身が負のときには
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数学Ⅰの教科書を見てください。
性質★ a>0 b>0 のとき √a × √b = √ab
と書いてありますよね!

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--------------------------------------------------

No4の回答について

> √(ー2)(ー3)=√(ー1)√(2)√(ー1)√(3)=√(ー1)²√2√3=√2√3=√6 だから。 ☆

2つ目の=と3つ目の=が計算の性質★に違反しています。

>この部分を√(ー1)√(2)√(ー1)√(3)=i√(2)i√(3)としてはダメな理由を教えて頂けませんか?
ダメでなく、正しいです。(これは自信を持ってください!)
でも数式☆では2つめの=がNGだから、√6とは等しくありませんね!

質問者は、多分、複素関数の話をしたいのではないと思います。
-----------------------------------------------
>素数という概念内では根号の中身が負になってもいいのかなと
>思っていたのですが、違うのですか?ご回答宜しくお願いします!

複素数まできちんと学んでいますね?
根号の中身は負で大丈夫です。自信をもってください。
これまでは根号の中身が負の数はNGでした。
これからは、根号の中身が負であってもOKです。
-------------------------------------------------
でも「負の数の根号」と...続きを読む

Q1GB(ギガバイト)って、何g(グラム)の重さですか?

こんにちは。
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有名な「マクスウェルの悪魔」に関連して、「シラードのエンジン」という話があります。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9E%E3%82%AF%E3%82%B9%E3%82%A6%E3%82%A7%E3%83%AB%E3%81%AE%E6%82%AA%E9%AD%94#.E3.82.B7.E3.83.A9.E3.83.BC.E3.83.89.E3.81.AE.E3.82.A8.E3.83.B3.E3.82.B8.E3.83.B3

簡単に結果を述べれば、もし、熱力学の第二法則が正しい(第二種の永久機関が作れない)とするなら、
温度Tの環境で、1bitのデータを記憶するには、最低でも、k*T*log(2) のエネルギーが必要です。
例えば、T=300(K) (27℃)だとすると、1GB 記憶するには、
https://www.google.co.jp/search?q=%28Boltzmann+constant%29%2a%28300+kelvin%29%2aln%281e9%29
8.58346389 × 10^-20 ジュールのエネルギーが必要です。
さらに、有名な E=MC^2 を使えば、これは、
9.55039158 × 10^-37 キログラムに相当します。
https://www.google.co.jp/search?q=%28Boltzmann+constant%29%2a%28300+kelvin%29%2aln%281e9%29%2f%28c%5e2%29

有名な「マクスウェルの悪魔」に関連して、「シラードのエンジン」という話があります。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9E%E3%82%AF%E3%82%B9%E3%82%A6%E3%82%A7%E3%83%AB%E3%81%AE%E6%82%AA%E9%AD%94#.E3.82.B7.E3.83.A9.E3.83.BC.E3.83.89.E3.81.AE.E3.82.A8.E3.83.B3.E3.82.B8.E3.83.B3

簡単に結果を述べれば、もし、熱力学の第二法則が正しい(第二種の永久機関が作れない)とするなら、
温度Tの環境で、1bitのデータを記憶するには、最低でも、k*T*log(2) のエネルギーが必要です。
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三角形の定義「同一直線上にない3点と、それらを結ぶ3つの線分からなる多角形」に反します。
sinθ=1の場合は2つの点しか存在せず、1つの線分しかない上、多角形でもありません。
従って、描けるのは1本の線分であって三角形ではありません。

これが三角関数で三角形を扱う問題であるなら、sinθ≠1の条件が必要です。


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