半径ｒから始まるアルキメデスの螺旋の長さを求める一般式を教えてください

半径ｒの円柱に厚みｔのベルトを角度θ巻きつけた時の長さLを求めたいので求め方を教えてください。
ベルトを巻き付けた時の半径は巻きつけるたびに大きくなっていくものとし、アルキメデスの螺旋に従うものと考えてください。
　私はL＝∫ｒ(θ)ｄθと考え計算したのですが、計算が間違っているのか一向に妥当そうな値を導くことができませんでした。
可能でしたら計算過程の導出も記載していただけると助かります。
宜しくお願いいたします。

私はr(θ)＝tθ+rとして計算を試みました。
もし見当違いでしたらご指摘いただけますと幸いです。

質問者からの補足コメント

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  回答ありがとうございます！捕捉させてください。
  　私の説明が稚拙で誤解を招いてしまったか、私の理解が追い付かず応用ができていないのか。
  もうしばらくお付き合いいただければ幸いです。
  　私が知りたいのは添付画像の左の螺旋の長さを求める式です。
  CADで描画し長さLを解析したところ、計算と解析結果が合いませんでした。
  (CADと計算が大きくずれてしまいました。)
  　ご教授頂いた式で積分を試みたら以下のようになりました。
  ∫√(1+θ^2 ) dθ=1/2 {θ√(1+θ^2 )+log⁡(θ+√(1+θ^2 )) }
  これですと右の螺旋の長さを求める式になるかと思います。
  　左の螺旋の長さを求める式を初期半径ｒ、ピッチｔ、角度θで表すとどのような式になりますか？
  もし、私が思い違いをしている、不明な点等ございましたらご指摘お願いいたします。

  
    補足日時：2017/05/09 00:48

No.1 ベストアンサー 回答者： rabbit_cat 回答日時： 2017/05/08 01:32

L＝∫ｒ(θ)ｄθ ではなくて、L＝∫√{(rdθ)^2 + dr^2} = ∫√(1+θ^2)dθ

で計算しないと駄目です。

なぜ、微小な線分を rdθ としては駄目で √{(rdθ)^2 + dr^2} とすればＯＫなのかは、真面目に考え出すとなかなか難しいです。

一般に、積分する変数（この場合はd(rθ)）の次元と、積分の結果求めたい値（この場合は螺旋の全長）の次元との差を「余次元」と言ったりしますが（物理の余次元とは全く意味が違うので注意）
この、余次元が０の場合（積分する変数と、求めたいものの次元が同じ場合）は、かなり気をつけて積分しないといけません。
したアルキメデスの螺旋くらいならまだよいですが、世の中にはフラクタルとか、もっとワケワカラン図形もあるんで。。
逆に、余次元が正の値の場合（例えば、長さの変数を積分して図形の面積を求めたいなど）であれば、かなり適当に式を立てても合います。

この回答へのお礼

素早い回答ありがとうございます！
よろしければ引き続き付け足しました捕捉についてお付き合いいただければ幸いです。
ご指導お願いいたします。

お礼日時：2017/05/09 01:03

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2017/05/09 12:00

極座標を使った場合の一般的な式は #1 にある

L＝∫√{(rdθ)^2 + dr^2}
だから, これを使って計算すればいい.

概略では断面積を求めればいいだけなんだよな.

この回答へのお礼

ありがとうございます
断面積をｔで割って概略の長さを得ることができました。
精度的には十分で簡易な方法として利用したいと思います。

お礼日時：2017/05/09 23:40

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2017/05/08 15:52

逆にいうと「まじめに考えださなければさほど難しくない」ともいえるわけで, 例えば直交座標で

dL^2 = dx^2 + dy^2
を認めるなら x, y を θ で書き直すだけだったりする.

この回答へのお礼

ありがとうございます。
sinとcosで置き換え、別の視点で解くという事ですね。

お礼日時：2017/05/09 00:50