A 回答 (4件)
- 最新から表示
- 回答順に表示
No.1
- 回答日時:
テーラー展開が問題として出題される場合には
「f(x)=e^(-x)をx=aの周りでテーラー展開しなさい」
というように中心が指定されていることが多いように思います
もしない場合には、問題として不適当でしょう
マクロリン展開は、関数をx=0の周りでテーラー展開したもので
テーラー展開の特殊な場合とも考えられるので
マクロリン展開を回答としても満点は貰えないかも知れません
x=x_0やx=aの周りで展開して回答とする方が無難でしょう
また近似誤差を聞く場合
何次の項まで展開するのかによって、誤差は変わってきます
設問をもう一度読み直して見て下さい
「e^(-x)をx=○の周りで□次の項まで展開しなさい」
というような問題ではないですか?
この回答へのお礼
お礼日時:2005/08/26 02:31
問題はe^-xをテーラー展開せよ。さらにその結果で、xの1次の項までで近似するとき近似誤差が1%以内となるxの値を求めよ。
これが問題なのですが・・・
No.2
- 回答日時:
#1さんが仰る様に問題に不備がある、というのが正しい気がしますが、この場合の「テイラー展開」はマクローリン展開と同義、つまりx=0の周りでの展開と考えて良いのではないでしょうか。
「e^x のテイラー展開」という表記をみる場合、x=0での展開以外見たことがないので…という根拠の弱い理由ですが。で、後半の質問ですが、先の「展開する」問題ではΣを使って無限項展開し、後半ではその内xの2次以降の項を切った式(f(x)=ax+bの形)とe^(-x)との誤差が1%に収まるxなので
|f(x)-e^(-x)|/e^(-x) < 1/100
の解を出せということでしょう。
No.3
- 回答日時:
多分教科書の中の問題とかじゃないですか?
それならある程度説明が・・・。
どういうことかというと、問題より前にはx=0を中心としたe^xのテイラー展開の説明がしてあり、それに対する練習問題として、y_kou1004さんが載せた問題が付けられている。こんな感じじゃないでしょうか?
このような場合なら、著者がどこを中心として展開すべきか明言しないということも考えられます。(暗黙の了解・・・というものではなく、単なる著者の勘違い=条件の付け忘れという理由で)
後半の問題について:
1次の項までの近似式は、,
e^(-x)≒1-x
より,近似誤差が1%という条件は,No.2さんの言うように
|(1-x)-e^(-x)|/e^(-x) < 1/100
を解けばよい.
残念ながら数学ソフトが無いので僕はここまでしかわかりません。
No.4
- 回答日時:
たぶんx=0で展開したときの話でしょう。
すると
f(x)=f(0)+xf'(0)+(x^2/2)f''(θx) (0<θ<1)
となります。
すなわち g(x)=f(0)+xf'(0)=1+x で近似することですから誤差の割合は(f''=f>0 だから)
Δ=|f(x)-g(x)/f(x)|=(x^2/2)f''(θx)/f(x)
=(x^2/2)f(θx)/f(x)=(x^2/2)e^(1-θ)x
ここで、x<0ならe^(1-θ)x<1となり
Δ<(x^2/2)となり、1%以下の誤差にするには
(x^2/2)=0.01を解いたx以下の値、すなわち、
-0.14<x<0程度の値であれば誤差は1%以下です。
xが正の時は0<(1-θ)<1に注意するとe^(1-θ)x<e^x
となります。この場合もxは小さい値ですから例えば
0<x<0.2とすればe^x<1.3となります。
これを上の式に入れると
Δ=(x^2/2)e^(1-θ)x<=(x^2/2)e^x<(x^2/2)・1.24=x^2・0.62
故にΔ<x^2・0.62=0.01となるのは x=0.12となります。
これははじめの仮定x<0.2もみたしていますから
概略、0<x<0.12の範囲であれば誤差は1%以内です。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 数学 「f(z)=1/(z^2-1)に関して ローラン展開を使う場合、マクローリン展開を使う場合、テイラー 3 2022/08/27 19:56
- 数学 複素関数と実関数のテーラー展開の違いについて 1 2022/08/09 06:18
- 数学 tan(z)をローラン展開して tan(z)=-1/(z-π/2)+(1/3)(z-π/2)+… と 14 2023/01/17 10:33
- C言語・C++・C# C言語のマクローリン展開ローラン展開のコードについて 3 2022/12/15 14:45
- 数学 θ=π/2 のまわりでの f(θ)=sinθ/cosθのローラン展開に関して 以外の「」の解答を頂き 13 2022/11/11 09:45
- 数学 マクローリン展開のn次の係数を求める問題です。 考えてみたのですが、分からず困っています。 x/(1 5 2022/07/31 20:51
- 工学 tanθは分母が0になることがある為、テイラーとマクローリン展開は出来ないと聞いたことがあるのですが 1 2022/06/15 20:24
- 数学 tanθは分母が0になることがある為、テイラーとマクローリン展開は出来ないと聞いたことがあるのですが 8 2022/06/15 18:23
- 数学 nが実数のとき、(1+x)^nのマクローリン展開は (1+x)^n=1+nx+n(n-1)/2!x^ 3 2022/12/10 11:51
- 数学 多変数関数の微分とテイラー展開について 5 2022/04/24 16:55
このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています
おすすめ情報
このQ&Aを見た人がよく見るQ&A
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
誤差率 理論値が0の時
-
重み付き最小二乗法について
-
集積公差について教えて下さい。
-
中1 数学 資料の整理 誤差に単...
-
データの相対誤差について
-
【座標の変換】日本測地系から...
-
信号対雑音比について
-
サンプリング数の決定における...
-
有効数字について 6×3.0だった...
-
最小二乗法は、なぜ「二乗」な...
-
適正サンプル数について
-
三次元座標からの回転角の導出...
-
測定したデータの誤差を計算す...
-
次の計算を行い、不確かさ伝搬...
-
百分率の統計解析について
-
平均2乗誤差の分解について
-
最小二乗法の重みづけについて...
-
母標準偏差の相対誤差について
-
アップ率の求め方について
-
パーセントの平均の計算式。 42...
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
おすすめ情報