ほとんど重さの変わらない球と円柱で慣性モ-メントの実験をやったのですが、何故異なる値になるのですか?教えてください。お願いします。

このQ&Aに関連する最新のQ&A

A 回答 (7件)

回転させたときの慣性モーメントでは、質量分布の回転軸からの距離が大きなファクターになります。

同じ重量であれば回転軸から遠い部分に質量が多くあるほどモーメントは大きくなります。これは、軸から遠いほど速度が大きくなることに起因しています。球では回転軸に近い部分に質量が集中し円柱では均一です。このためモーメントの値に差が出るのです。

慣性モーメントを大きくとりたいフライホイールなどでは周辺部を重く作り、同じ重量の単なる円盤よりも慣性モーメントを大きくする工夫がなされています。

この回答への補足

細長い円柱だとやっぱし違うんですかぁ?

補足日時:2001/11/24 07:33
    • good
    • 1
この回答へのお礼

ありがとうございます。そう言う事だったんですね。納得です。

お礼日時:2001/11/24 07:33

>円柱と球の半径が6cm違うと違いますか?教えてください!お願いします。



球の直径が大きければ、6cmの割合は小さくなるし、直径が小さければ6cmは大きなものになります。
こういうのは、「差」でなくて「比」で考えないといけませんね。
    • good
    • 0
この回答へのお礼

ありがとうございました。「差」でなく「比」で考えるんですね。なるほど・・・です。

お礼日時:2001/11/25 19:40

#5の方が計算式を添えて書かれているとおり、同じ円柱状であっても、その半径によって大きく異なります。

ここで独楽を考えてみてください。同じ回転数で同じ重さであるならばできるだけ平たい独楽で、周辺部分が重い独楽ほど長く回り続けるはずです。これは即ち最初に与えられた回転数によって蓄えられたエネルギーが大きかったことを示す結果です。もちろん同じ回転数まで回転を上げるのにも大きなエネルギーが必要ですが、回転に関するモーメントということであればこれで回答になりませんでしょうか。慣性とは質量と運動の速度で決定される要素ですので、回転体の場合では、回転軸から遠い速度の速い部分にある質量ほど大きな要素となりえるわけで、たとえば細長い円柱では回転軸近くに質量の大部分が集中しているために慣性モーメントは小さくなります。逆に円盤に近いような円柱では軸から遠い部分に質量が集中するため慣性モーメントは大きくなります。
    • good
    • 0

「お礼」の補足についての回答です。


質量:M
半径:a
高さ:L
円筒の回転軸についての慣性モーメントIは
I=M(a^2/4+L^2/12)

球の直径の周りの慣性モーメントIは
I=M(2*a^2/5)
です。

式の導き方については大学の教養物理か力学のテキストに書かれています。

>円柱と球の半径が6cm違うと違いますか?
上の式からわかるように、a,Lの値によって異なりますから、ご自分で計算して見て下さい。
    • good
    • 0
この回答へのお礼

ありがとうございます。テキストをじっくり読んで考えてみます。

お礼日時:2001/11/25 19:37

次のような実験をされたのでしょうか?



質量はだいたい同じ、円柱の半径も球の半径に等しく、
円柱も軸を中心に回転させて、慣性モーメントを測定した。
しかし、値が異なるのはなぜか?・・・ということでしょうか?

上の条件ならば、円柱の方が慣性モーメントは大きくなります。
慣性モーメントは
I=∫r^2dm
質量より、回転軸からの距離が二乗で効いてきますから、
みなさんの回答のように、円柱の方がおおきいのです。

参考になればよいですが(^^;
    • good
    • 0
この回答へのお礼

あろがとうございました。円柱と球の半径が6cm違うと違いますか?教えてください!お願いします。

お礼日時:2001/11/24 07:39

前の回答に補足。


球は「同じ形」ですが、円柱の場合、同じ質量であっても「細長い」か「平べったい」かで、違います。円柱同士で比較できると思いますので、お試ししては・・。
    • good
    • 0
この回答へのお礼

ありがとうございました。補足してみました。形によって違うんですね。

お礼日時:2001/11/24 07:35

形が異なるからです。


慣性モーメントには回転軸からの距離も関係するため、質量が同じでも異なる値になります。(参考URLも見てください)

参考URL:http://www.cmt.phys.kyushu-u.ac.jp/~M.Sakurai/ph …
    • good
    • 0
この回答へのお礼

ありがとうございました!!早速見てみます。

お礼日時:2001/11/24 07:27

このQ&Aに関連する人気のQ&A

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています

このQ&Aを見た人が検索しているワード

このQ&Aと関連する良く見られている質問

Q回転力と モータトルク と 慣性モーメント の違いがつかめません。

モータの場合
入力電力 = 機械出力  + 損失
入力電力W = 電圧V x 電流A
機械出力W=回転速度[rad/s]  x 回転力 [Nm]
モータ効率=出力/ 入力 x 100

と本に解説がありましたが、

回転力と モータトルク と 慣性モーメント の違いがつかめません。
どうぞよろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

回転力というのは、あんまりきかない言葉ですが、おそらくトルクの日本語訳なんでしょう。というわけで、「回転力」=「モータトルク」です。

「トルク」がモータが物体を回転させようとする力の大きさを表すのに対して、
慣性モーメントは、(モータにつながっている)物体の「回転しにくさ」を表しています。
慣性モーメントが大きな(回転しにくい)物体を回転させるのは、強力な(出力トルクが大きい)モータが必要です。

「トルク」と「慣性モーメント」の関係は、
「力」と「質量」の関係と全く同じです。
重たい(質量が大きい)物体は、大きな力をかけないと動きません。
慣性モーメントが大きなものは、大きなトルクをかけないと回転しません。

Q慣性モ-メントの計算方法について・・・

円柱の試料を8等分にして、分割した小部分の重心に質量が集まっているとみなして、Iを求めるとどんなふうになるんですかぁ?あと、2個の球の時は「それぞれの重心に質量が集まっている」と考えてIを求めるとどうなりますか?
I=ΣMi ri←rの時は2乗になるのですがどのようにあてはめていいのかさっぱり分からなくて・・・・教えてください!お願いしますm(_ _)m

Aベストアンサー

ヒントだけ
まず、円盤の慣性モーメントを求めます。
つぎに、その円盤を円柱の高さまで積分します。

円盤は、半径rの幅drのドーナツ状を考えます。ρは密度です。
dm=2πrρdr
これを、0から半径aまで積分します。
I(円盤)=∫r^2dm
=∫r^2*2πrρdr
=m(a^2/2)
ただし、m=ρπa^2

円柱は、円盤の積み重ねですから、
I(円柱)=M(a^2/4+L^2/12)
となります。
ただし、Mは円柱の質量、Lは円柱の高さ。
以上です。

Q慣性モーメントについて教えてください!!

慣性モーメントについて教えてください!!
慣性力I1,質量m1の物体に回転軸から距離r1(重心位置)を加速度aで動かしたものと、
慣性力I2,質量m2の物体に回転軸から距離r2(重心位置)を加速度aで動かしたものでどちらが早く1回転するかが求められません。

F=ma,N=Ia式から求めれるのでしょうか。
また、回転軸にトルクT1がかかっている場合はどうなるのでしょうか。

分かりにくい質問で申し訳ないですが、宜しくお願いします。

Aベストアンサー

No1の回答者です。
>ということは、r1×m1×a-T1となるということですね。
えーと、T1で引いているように見えますが・・・

r1×m1×a、r2×m2×aをT1に置き換えるだけでいいです。
つまり
  I1×(dω1/dt)=r1×m1×a・・・(1、1)
  I2×(dω2/dt)=r2×m2×a・・・(1、2)

  I1×(dω1/dt)=T1・・・(1、1)
  I2×(dω2/dt)=T1・・・(1、2)
として計算すれば良いと思います。
トルクTは、力のモーメントNと同義です。
  N=r×F=T
ちなみに回転の運動方程式は
  I(dω/dt)=r×F=T
です。
以上です。参考になれば幸いです^^

Q円柱と円盤の慣性モーメント

ふたつの違いがわからないため質問させていただきます。

左の図で、直交軸の定理を利用すればMR^2/4になることはわかるのですが、

右の図もZ軸があるのですが、答えはMR^2/2です。

この二つの慣性モーメントは回る方向が違っているのでしょうか?
問題にはどういう方向で回るかは書いていませんでした。

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

説明しようと思ったのだが、この掲示板は数式が書きづらいので・・Texで書いても人にはわからないので、良いサイトがあるので紹介します。
円盤の慣性モーメントその(1) ( http://kagennotuki.sakura.ne.jp/moi/node23.html )
円柱の慣性モーメント ( http://kagennotuki.sakura.ne.jp/moi/node29.html )
 端的に言うと、Mは質量だから

Q断面二次モーメントと慣性モーメント

現在物体の慣性モーメントを求めようとしています.

そこで疑問が生じたので質問します.

材料力学では断面二次モーメント=慣性モーメント
となっています.

ですが慣性モーメントって∫r^2 dmですよね?

次元が全く違うしなぜ慣性モーメントなんでしょうか?

また慣性モーメントと断面二次モーメントの関係があれば教えてください

よろしくお願いします.

Aベストアンサー

そうですね。#3の説明は,理解するには良い方法と思いますが,厳密に言うと違います。

慣性モーメントの定義を分かりやすく簡単に説明すると,慣性力は物体が現在の状態を維持しようとする力,つまり,物体の運動や変形に抵抗する力の事です。モーメントというのは回転に関する運動率,つまり,回転に関する係数です。合わせて,回転に対する抵抗係数が慣性モーメントです。

係数ですから次元に関係はありません。と言うよりも,適用される状況によって異なった次元を持ってもかまわないと言うことです。

そこで,慣性モーメントとは,動力学では,回転運動に対する抵抗係数で,静力学では,回転変形(曲げ変形)に対する抵抗係数です。

J=∫r^2 dmやI=∫r^2 dAという算定式は,一般的に解釈すれば,「慣性モーメントは,物体が物体の任意の軸に関して,物体内の微小部分と軸から微小部分までの距離の2乗との積を全物体について合算した値である」と定義できると思います。
質量慣性モーメントの場合,この微小部分が微小質量であり,断面2次モーメントの場合微小部分が微小断面積になります。

そこで,
>「材料力学では」断面二次モーメント=慣性モーメント
という定義がされているものと思いますが,ここでは,「材料力学では」と言う条件が重要な部分だと思います。

でも,こんな説明をしている書籍を見たことはありません。断定的な説明をしていますが,私の理解している内容を文章にしただけですので,ほぼ合っていると思いますが,多少の違いがあるかもしれません。他の専門家の意見も聞いて頂くと良いと思います。

そうですね。#3の説明は,理解するには良い方法と思いますが,厳密に言うと違います。

慣性モーメントの定義を分かりやすく簡単に説明すると,慣性力は物体が現在の状態を維持しようとする力,つまり,物体の運動や変形に抵抗する力の事です。モーメントというのは回転に関する運動率,つまり,回転に関する係数です。合わせて,回転に対する抵抗係数が慣性モーメントです。

係数ですから次元に関係はありません。と言うよりも,適用される状況によって異なった次元を持ってもかまわないと言うことです。
...続きを読む

Q円柱の慣性モーメントの求める問題です。

円柱の慣性モーメントの求める問題です。
密度ρ半径R長さlの円柱をo軸回りの回転軸を求める問題なのですがわからなくて困ってます、どうか教えてください。

Aベストアンサー

(1) 半径rの円板の中心を通り円板に平行な軸に関する慣性モーメントは,(1/4)mr^2
  ※垂直軸の定理から,中心を通る垂直軸周りの慣性モーメントが(1/2)mr^2であることを用いる。
(2) 平行軸の定理 I=Ic+MRg^2 ただし,Icは重心まわりの慣性モーメント,Mは剛体の質量,Rgは軸から重心までの距離

を用います。

円柱の重心を原点として軸方向にx軸をとる。
座標xにおいて円柱を輪切りにして得られる厚さdxの円板について,質量dm=ρπR^2dx として,慣性モーメントは
dI = (1/4)dm・R^2 + dm・x^2
したがって,円柱全体について積分すれば
I = ρπR^2∫[0~l] { (1/4)R^2+x^2 } dx = ρπR^2l{ (1/4)R^2 + (1/3)l^2 }

となると思います。

Q時間変化する円柱の慣性モーメント

お世話になります。

「円柱の慣性モーメント」
http://kagennotuki.sakura.ne.jp/moi/circular_cylinder.html

ここのページを参考に、図①に関しての慣性モーメントを求めることはできましたが、

突如として、図②のようにθ軸まわりに回転を始めたとすると、
φ軸回りの慣性モーメントは時間とともに変化してしまいます。

円の半径を a 高さを l 質量をMとしたとき、
φ軸回りの慣性モーメントは
Ma^2/2 と ( a^2/4 + l^2/12)M の間の周期的な値になると思うのですが、

まず、図②自体の静止している状況におけるφ軸回りの慣性モーメントが分からないことと、

θ軸回りの回転によるφ軸回りの慣性モーメントの周期的な変化を、
一般的な関数として表現することは可能でしょうか?

Aベストアンサー

円柱と回転軸の相互関係が変わらない(このままφ軸まわりに回転する)なら、
円柱の三つの主軸に対する回転軸の方向余弦をl, m, nとして,
この円柱のφ軸まわりの慣性モーメントは

Iφ = I1 l^2 + I2 m^2 + I3 n^2

I1 = I2 = Ma^2/4 + Ml^2/12
I3 = Ma^2/2

で時間によらない。

一般に,慣性モーメントが時間で変わるのは面倒なので,
空間系で時間で変わるようなら主軸系で運動を記述する。

Q中空円柱の慣性モーメントとGD^2について

慣性モーメントに関する質問です。

一般的に、中空円柱の慣性モーメントはIz=m(R^2+r^2)/2と表わす事ができますが、手元にある教科書では何故か、Iz=m(R^2-r^2)/2という表記になっています。
更にこれを直径について改め、Iz=M(D^2-d^2)/8という表記になっています。

これは合っているのでしょうか?

Aベストアンサー

私も一瞬、#1様と同じように考えてしまいました。
r→Rの場合をM→0として慣性モーメント→0とするという考え方は混乱します。
物が無いという場面ですから慣性モーメント自体意味を持たなくなるのです。慣性モーメントの枠内で考えて、小さくても有限の質量を持つ場面に当てはめる方がいいと思います。
r→Rは円環の場合です。
この場合の慣性モーメントはMR^2です。
慣性モーメントの計算の中では一番簡単な場合になっています。


積分で定義された式だけで考えていると面倒な計算というイメージを持ってしまいます。
公式を探して当てはめようとすることになってしまって気がるにチェックするということができなくなります。

でも運動エネルギーの表現で定義されているとすると分かりやすくなります。
質量Mの質点が半径Rの円周上を速さVで運動しているとします。
運動エネルギー E=(1/2)MV^2
この質点の運動は回転運動ですから角速度ωで書きなおすことができます。
E=(1/2)MR^2ω^2=(1/2)Iω^2
I=MR^2
これが慣性モーメントです。
この質量Mを一点ではなくて円周上に分布させても表現は変わりません。
距離が一定で、同じ角速度で運動しているという場合であればどういう分布をしていても同じです。
円環は円周上に質量が均一に分布しているとした場合です。
円盤は円環を足し合わせればいいです。

普通は2つの円盤の差を考えて円環を出すという手順になっています。
教科書の記述はそこで間違ったのだろうと思います。
I=(1/2)ρπd(R^4-r^4)
 =(1/2)ρπd(R^2+r^2)(R^2-r^2)
(dは円盤の厚みです。円筒の場合は高さと見ても同じです。) 

ここで M=ρπd(R^2-r^2) としなければいけないところを M=ρπd(R^2+r^2)としてしまったのでしょうね。そして結果の表現でr→RとするとI→0になるので「これでいい」と思ったのでしょう。
質量Mの針金の環だと思い当たっていれば間違いに気が付いただろうと思いますが。

私も一瞬、#1様と同じように考えてしまいました。
r→Rの場合をM→0として慣性モーメント→0とするという考え方は混乱します。
物が無いという場面ですから慣性モーメント自体意味を持たなくなるのです。慣性モーメントの枠内で考えて、小さくても有限の質量を持つ場面に当てはめる方がいいと思います。
r→Rは円環の場合です。
この場合の慣性モーメントはMR^2です。
慣性モーメントの計算の中では一番簡単な場合になっています。


積分で定義された式だけで考えていると面倒な計算というイメージを持っ...続きを読む

Q慣性モーメント

慣性モーメントの問題で困ってます。
質量M、長さLの棒があり、質量M/2の質点Aを一端に取り付け、ほかの一端にM/4の質点Bを取り付けた(合計7M/4)。質点Aから距離aにある棒状の点を通って棒に垂直な軸を考え、この軸を回転させるときの軸の周りの慣性モーメントは求めることができたのですが、慣性モーメントが最小になるためのaの値がわかりません。今までの力のモーメントから慣性モーメントに変わって困っています。どうかモーメントが最小になる条件も踏まえて教えていただけないでしょうか?ちなみに計算した慣性モーメントは{(7L^2-18La+21a^2)M/12}です。(たぶん合ってるはず・・・)

Aベストアンサー

たしかに,#1様ご回答のとおり,微分を使うほうが簡単だと思います.
ということで,別のとき方ですが,

計算したものが合っているとして,
I={(7L^2-18La+21a^2)M/12}
=[{(a-(9/21)L}^2 + 7/21L^2-(9L/21)^2] * 21 * M/12
= [{(a-(3/7)L}^2 + (22/147)L^2] * 21 * M/12

とaについての二次形式に変形できます.#1様すでにご回答のとおり,
a=(3/7)Lで最小値をとる,下に凸な二次曲線(放物線)です.
最小値は,(a-(3/7)L =0 のときの値ですので,
 Imin= (22/147)L^2 * 21 * M/12 = (11/42)ML^2

計算間違っているかも知れませんが,
いいたいのは,二次形式にしてカッコの中がゼロになる条件を見つけるということです.

検算にでもどうでしょうか.

それでは.

Q球の慣性モーメント

 球のモーメントを求める時、球の中の薄い円板を考え、それを積分していくと思います。
この時
2∫r^2dm
にr^2をそのままにしてdmを薄い円板質量を入れて求めると教科書の答えが違ってくるのは何故でしょう?
教科書は
円板の慣性モーメントdI=r^2/2×dm
を考え、2∫(円板の慣性モーメント)
と入れて求めています。
 慣性モーメントの公式は ∫r^2dm
なのではじめの方法も間違っていない気がするのですが、2番目の方が正しいのですよね?
 はじめの方法は何が行けないのでしょうか?
 もし分かる方がいらっしゃったら教えてください。

Aベストアンサー

この場合のrとはなんでしょう?
z軸からの距離でなければなりません。
z軸の周りの慣性モーメントを求めたい(球の対称性によりどこを軸にとっても同じ)わけですから。
だから、I=ΣΔmr^2=∫r^2ρdV
=∫∫∫r^2ρdxdydz=∫∫∫ρ(x^2+y^2)dxdydz=Iz
として計算すべきものです。

もし、I=2∫r^2dmとして計算するとどうなるでしょう?これは、2倍しているのは左右で二つあるからだと思います。∫r^2dmのdmを、例えばx軸上の距離rの位置にある、x軸に垂直な薄い円板の質量としてしまうと、その薄い円板上の質点の
部分部分によって、z軸からの距離は変わってきますよね。それなのに、円板を構成する全ての質点がz軸から距離rにある、としてしまっているのがr^2dmという式にほかなりません。つまり、z軸から距離rにあるのは
円板を構成する質点のなかではx軸上の一点だけで、
そのほかの円板上の質点はz軸からの距離がrより大きいのです。
だから、r^2dmのdmに微小円板の質量を入れてはいけないのです。

dI=r^2/2×dmを使う場合は、z軸の周りの円板の微小慣性モーメントは既に計算されているから、それをdmについて加え合わせる分には問題ありません。

参考までに,Iz=∫ρ(x^2+y^2)dV
Iy=∫ρ(x^2+z^2)dV,Ix=∫ρ(y^2+z^2)dV
Ix=Iy=Izより、
Iz=(Ix+Iy+Iz)/3=∫2/3ρr^2dV(このrは球の半径方向)
=∫(2/3)ρr^2(4πr^2dr)=2/5Ma^2 (a=球の半径)

この場合のrとはなんでしょう?
z軸からの距離でなければなりません。
z軸の周りの慣性モーメントを求めたい(球の対称性によりどこを軸にとっても同じ)わけですから。
だから、I=ΣΔmr^2=∫r^2ρdV
=∫∫∫r^2ρdxdydz=∫∫∫ρ(x^2+y^2)dxdydz=Iz
として計算すべきものです。

もし、I=2∫r^2dmとして計算するとどうなるでしょう?これは、2倍しているのは左右で二つあるからだと思います。∫r^2dmのdmを、例えばx軸上の距離rの位置にある、x軸に垂直な薄い円板の質量としてしまうと、その薄い円板上の質点の
部分部...続きを読む


このQ&Aを見た人がよく見るQ&A

人気Q&Aランキング

おすすめ情報