ほとんど重さの変わらない球と円柱で慣性モ-メントの実験をやったのですが、何故異なる値になるのですか?教えてください。お願いします。

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A 回答 (7件)

回転させたときの慣性モーメントでは、質量分布の回転軸からの距離が大きなファクターになります。

同じ重量であれば回転軸から遠い部分に質量が多くあるほどモーメントは大きくなります。これは、軸から遠いほど速度が大きくなることに起因しています。球では回転軸に近い部分に質量が集中し円柱では均一です。このためモーメントの値に差が出るのです。

慣性モーメントを大きくとりたいフライホイールなどでは周辺部を重く作り、同じ重量の単なる円盤よりも慣性モーメントを大きくする工夫がなされています。

この回答への補足

細長い円柱だとやっぱし違うんですかぁ?

補足日時:2001/11/24 07:33
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この回答へのお礼

ありがとうございます。そう言う事だったんですね。納得です。

お礼日時:2001/11/24 07:33

>円柱と球の半径が6cm違うと違いますか?教えてください!お願いします。



球の直径が大きければ、6cmの割合は小さくなるし、直径が小さければ6cmは大きなものになります。
こういうのは、「差」でなくて「比」で考えないといけませんね。
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この回答へのお礼

ありがとうございました。「差」でなく「比」で考えるんですね。なるほど・・・です。

お礼日時:2001/11/25 19:40

#5の方が計算式を添えて書かれているとおり、同じ円柱状であっても、その半径によって大きく異なります。

ここで独楽を考えてみてください。同じ回転数で同じ重さであるならばできるだけ平たい独楽で、周辺部分が重い独楽ほど長く回り続けるはずです。これは即ち最初に与えられた回転数によって蓄えられたエネルギーが大きかったことを示す結果です。もちろん同じ回転数まで回転を上げるのにも大きなエネルギーが必要ですが、回転に関するモーメントということであればこれで回答になりませんでしょうか。慣性とは質量と運動の速度で決定される要素ですので、回転体の場合では、回転軸から遠い速度の速い部分にある質量ほど大きな要素となりえるわけで、たとえば細長い円柱では回転軸近くに質量の大部分が集中しているために慣性モーメントは小さくなります。逆に円盤に近いような円柱では軸から遠い部分に質量が集中するため慣性モーメントは大きくなります。
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「お礼」の補足についての回答です。


質量:M
半径:a
高さ:L
円筒の回転軸についての慣性モーメントIは
I=M(a^2/4+L^2/12)

球の直径の周りの慣性モーメントIは
I=M(2*a^2/5)
です。

式の導き方については大学の教養物理か力学のテキストに書かれています。

>円柱と球の半径が6cm違うと違いますか?
上の式からわかるように、a,Lの値によって異なりますから、ご自分で計算して見て下さい。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。テキストをじっくり読んで考えてみます。

お礼日時:2001/11/25 19:37

次のような実験をされたのでしょうか?



質量はだいたい同じ、円柱の半径も球の半径に等しく、
円柱も軸を中心に回転させて、慣性モーメントを測定した。
しかし、値が異なるのはなぜか?・・・ということでしょうか?

上の条件ならば、円柱の方が慣性モーメントは大きくなります。
慣性モーメントは
I=∫r^2dm
質量より、回転軸からの距離が二乗で効いてきますから、
みなさんの回答のように、円柱の方がおおきいのです。

参考になればよいですが(^^;
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この回答へのお礼

あろがとうございました。円柱と球の半径が6cm違うと違いますか?教えてください!お願いします。

お礼日時:2001/11/24 07:39

前の回答に補足。


球は「同じ形」ですが、円柱の場合、同じ質量であっても「細長い」か「平べったい」かで、違います。円柱同士で比較できると思いますので、お試ししては・・。
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この回答へのお礼

ありがとうございました。補足してみました。形によって違うんですね。

お礼日時:2001/11/24 07:35

形が異なるからです。


慣性モーメントには回転軸からの距離も関係するため、質量が同じでも異なる値になります。(参考URLも見てください)

参考URL:http://www.cmt.phys.kyushu-u.ac.jp/~M.Sakurai/ph …
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この回答へのお礼

ありがとうございました!!早速見てみます。

お礼日時:2001/11/24 07:27

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円盤は、半径rの幅drのドーナツ状を考えます。ρは密度です。
dm=2πrρdr
これを、0から半径aまで積分します。
I(円盤)=∫r^2dm
=∫r^2*2πrρdr
=m(a^2/2)
ただし、m=ρπa^2

円柱は、円盤の積み重ねですから、
I(円柱)=M(a^2/4+L^2/12)
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円盤の慣性モーメントその(1) ( http://kagennotuki.sakura.ne.jp/moi/node23.html )
円柱の慣性モーメント ( http://kagennotuki.sakura.ne.jp/moi/node29.html )
 端的に言うと、Mは質量だから

Q時間変化する円柱の慣性モーメント

お世話になります。

「円柱の慣性モーメント」
http://kagennotuki.sakura.ne.jp/moi/circular_cylinder.html

ここのページを参考に、図①に関しての慣性モーメントを求めることはできましたが、

突如として、図②のようにθ軸まわりに回転を始めたとすると、
φ軸回りの慣性モーメントは時間とともに変化してしまいます。

円の半径を a 高さを l 質量をMとしたとき、
φ軸回りの慣性モーメントは
Ma^2/2 と ( a^2/4 + l^2/12)M の間の周期的な値になると思うのですが、

まず、図②自体の静止している状況におけるφ軸回りの慣性モーメントが分からないことと、

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I1 = I2 = Ma^2/4 + Ml^2/12
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(2) 平行軸の定理 I=Ic+MRg^2 ただし,Icは重心まわりの慣性モーメント,Mは剛体の質量,Rgは軸から重心までの距離

を用います。

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dI = (1/4)dm・R^2 + dm・x^2
したがって,円柱全体について積分すれば
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r→Rは円環の場合です。
この場合の慣性モーメントはMR^2です。
慣性モーメントの計算の中では一番簡単な場合になっています。


積分で定義された式だけで考えていると面倒な計算というイメージを持ってしまいます。
公式を探して当てはめようとすることになってしまって気がるにチェックするということができなくなります。

でも運動エネルギーの表現で定義されているとすると分かりやすくなります。
質量Mの質点が半径Rの円周上を速さVで運動しているとします。
運動エネルギー E=(1/2)MV^2
この質点の運動は回転運動ですから角速度ωで書きなおすことができます。
E=(1/2)MR^2ω^2=(1/2)Iω^2
I=MR^2
これが慣性モーメントです。
この質量Mを一点ではなくて円周上に分布させても表現は変わりません。
距離が一定で、同じ角速度で運動しているという場合であればどういう分布をしていても同じです。
円環は円周上に質量が均一に分布しているとした場合です。
円盤は円環を足し合わせればいいです。

普通は2つの円盤の差を考えて円環を出すという手順になっています。
教科書の記述はそこで間違ったのだろうと思います。
I=(1/2)ρπd(R^4-r^4)
 =(1/2)ρπd(R^2+r^2)(R^2-r^2)
(dは円盤の厚みです。円筒の場合は高さと見ても同じです。) 

ここで M=ρπd(R^2-r^2) としなければいけないところを M=ρπd(R^2+r^2)としてしまったのでしょうね。そして結果の表現でr→RとするとI→0になるので「これでいい」と思ったのでしょう。
質量Mの針金の環だと思い当たっていれば間違いに気が付いただろうと思いますが。

私も一瞬、#1様と同じように考えてしまいました。
r→Rの場合をM→0として慣性モーメント→0とするという考え方は混乱します。
物が無いという場面ですから慣性モーメント自体意味を持たなくなるのです。慣性モーメントの枠内で考えて、小さくても有限の質量を持つ場面に当てはめる方がいいと思います。
r→Rは円環の場合です。
この場合の慣性モーメントはMR^2です。
慣性モーメントの計算の中では一番簡単な場合になっています。


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