No.1ベストアンサー
- 回答日時:
>ln(-x)は何とか変形してlnxのつく形に変形できないでしょうか。
ln関数を実数の範囲で考えるなら変形できません。
実数関数の範囲では
ln(-x)で定義されるのは
真数が正の場合のみです。
すなわち
-x>0つまりx<0の場合だけです。
このときln(x)は定義されません。
複素関数としてのln(x)の場合がxも複素数の範囲で扱います。
-x=|x|e^(+iπ)とおけば
x=|x|e^(iθ)
ln(x)=ln|x|+ i(θ±2nπ),ただしn=0,1,2,...
ln(-x)=ln|x| + i(θ+π±2nπ),ただしn=0,1,2,...
=ln(x)+iπ
となります。
>ln(-x)と-ln(x)は違いますよね?
全く別物です。
No.2
- 回答日時:
高校数学の知識だけでやってみると、
ln(-x)
= ln{ (-1)(x) }
= {lnx} + {ln(-1)} ( ∵ln(αβ) = (lnα) + (lnβ) )
となりますが、ln(-1)が存在しないので
ln(-x)を変形してlnxのつく形には変形できません。
ただ
ln(-1) = a
とおくと、この式は
『eのa乗は-1』という事を表しています。
そうすると
e^a = -1 (e^aはeのa乗)
ここで
e^(iπ) = -1
なのでaはiπとなります。よって
ln(-x)
= {lnx} + iπ
と変形できるかもしれません。
なんでe^(iπ)が-1になるのかということですが、
これは
e^iθ = cosθ + isinθ
と変形でき、θにπを代入すると、ちょうど-1になってくれるんです。
それではなぜe^iθ = cosθ + isinθとなるのか?
すみませんが、私はうまく説明できません。
『オイラーの公式』というらしいので、このワードで検索すれば
何か見つかるかもしれません。
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