代数を勉強しているのですが、わからない問題が出てきた
ので、どなたか以下の問題を解いて頂けませんでしょうか。
よろしくおねがいします。

---------------------------------------------
虚数単位を i 、1の虚数立方根をwで表し、

G=| i^m  x |
  | 0  w^n | m,n∈Z かつ x∈C

L=| 1  x |
  | 0 1 |  x∈C         とおく。


(問1)LはGの正規部分群であるか?(理由も含めて答えよ)

(問2)GのLによる右分解を求めよ。

--------------------------------------

以上です。なかなか進めなくて困っています。
問1・問2のどちらか一方でも良いので、
よろしくお願いします m(_ _)m

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A 回答 (1件)

Mizugameさんこんばんは。


(1)
Gが群になっていること、およびLがGの部分群であることは理解していますか。また正規部分群の定義は大丈夫ですか。念のため書いておくとLがGの正規部分群であるとは
(A)LがGの部分群であり
(B)任意のg∈Gに対して L=g^{-1}Lg ………(1)
となることです。この等号は集合として等しいと言う意味です。集合の要素の形で丁寧に書けば
L={g^{-1}lg:l∈L}
がすべてのg∈Gに対してなりたつ。と言う意味です。
だから正規部分群であるか否かを調べるには任意のg∈Gに対して(1)が成り立つか否かを調べれば良いのです
今任意のg∈Gを一つ選び

g =| i^m x_g |
  | 0  w^n |

としましょう。すると

g^{-1} =| i^{3m} -i^{3m} w^{2n} x_g |
      | 0          w^{2n}   |

となります。任意の
l=| 1 z |
  | 0 1 |∈L
に対してg^{-1}lgはどんな形の行列になるでしょうか。計算すればすぐわかりますが

g^{-1}lg =| 1 * |
       | 0 1 |

と言う形の行列になります(*=i^{3m}(x_g + x w^n - w^{2n}x_g) )
従って L ⊃ g^{-1}Lg であることがわかりました。

今度は逆向きの包含関係を調べます。任意のl∈Lとg∈Gに対してl=g^{-1}l'g となるようなl'∈Lが存在することを言えればOKです。
11,21,22成分についてはすでに見たようにOKですから問題は12成分だけですね。
12成分については任意の複素数zとx_gに対しz=i^{3m}(x_g + x w^n - w^{2n}x_g) となるような複素数xがとれることを言えればOKですが、これは明らかですね。よってLはGの正規部分群です。   ■


(2)
Lによる右分解と言うのは要するにGの要素にLの要素を右からかけたものの集合GLをクラスわけすることです。Gはそれらのクラスの和集合として表現されます。それが分解と言うことです。
任意の
g =| i^m x_g |
  | 0  w^n  |∈G

l=| 1 z |
  | 0 1 |∈L
に対してglを計算すると

gl =| i^m C |
  | 0  w^n |∈G
となります。ここでCは任意の複素数です(任意の複素数Cとg∈Gに対してglの12成分がCになるようなlが存在することはわかりますね)つまりGLは11成分がi^m,12成分が任意の複素数,21成分が0,22成分がw^nという形の行列になります。
そこでこのような形の行列で本質的に異なっているものは何種類あるかを考えます。
11成分について言えばi^m =i^{m+4} . 22成分はw^n =w^{n+3} ですから、11成分が本質的に異なるのは4種類。22成分については3種類です。従って11成分と44成分の組み合わせにより4×3=12種類に類別できることがわかります。集合の形で書けば

G=∪_{(m,n)∈Z_4 × Z_3} {| i^m  C |
                  | 0  w^n | C∈C }

となります   (Z_4とは整数のmod4による同値類。Z_3も同様)
(奇麗に書けませんが(m,n)をZ_4 × Z_3のすべてに渡って動かした時の集合和と言う意味です。)
なお、正規部分群による分解は左右を区別する必要はありません。この問題の場合も左分解と右分解が全く同じになることを確かめてみて下さい。  ■

ついでに言えばこの問題での11成分iは虚数単位というよりむしろ1の4乗根と考えた方が本質的です。
p,qを(1でない)任意の自然数とし、1のp乗根、q乗根をそれぞれu,vとし(ただしu,vは1でない根とする)

G=| u^m  x |
  | 0  v^n | m,n∈Z かつ x∈C

として同様の(Lは同じ)問題を考えてみて下さい。p,qが互いに素である場合とそうでない場合とでなにか違いがあるでしょうか?
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この回答へのお礼

oodaikoさんこんにちは。
お返事ありがとうございました。
正規部分群の定義を、どのように使っていけばいいのかが
わからなかったのですが、oodaikoさんの解説で理解でき
ました。
本当にありがとうございました!!!

お礼日時:2001/12/11 00:15

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Q虚数から見ると実数は虚になるのでしょうか

虚数と実数では虚数のほうが初めにあったのではないかと根拠もなく、想像(空想)しています。生物学ではRNAとDNAのような感じです。それとも虚数と実数は同時に存在を始めたのでしょうか。歴史からは実数のほうが先に認知されたとのことですが、虚数の世界から見れば実数の世界は虚の世界というようなことはないのでしょうか。実数がなくても虚数だけでi^2で負数、i^4で正数を表せるのに反し、少なくとも正数では虚数を表現できないとすればやはり虚数のほうが先かとも思うのですが・・・

Aベストアンサー

話を純虚数に絞ります。

私も似たような空想をしたことがあります。
純虚数と実数とは、まったく対称なのではないかと。

しかし、ちょっと考えたら、そうでないことに気づきました。

実数同士の掛け算、割り算は、やはり実数になるのに対して、
純虚数同士の掛け算、割り算は、純虚数ではなく実数になります。
純虚数の世界だけで、加減乗除の体系を作ることができないわけです。

ですから、
両者は対称ではない、つまりは、
「純虚数から見て実数は純虚数に見える」わけではない、
と考えました。


ついでに一言。
1つの実数ないしは複素数x+iyをX-Y座標系の1点としてプロットしたとしましょう。
この実数ないしは複素数に虚数単位iを掛け算すると、さっきの1点は原点に近づくことも遠ざかることもなく、原点の周りにちょうど90度くるりと回ったところの点になります。
iを掛けるということは、大きさを変えるということではなく、回すということ、なんですね。

Q(i)spanX=V ならば x∈V,x=Σ[i=1..n](xi),(ii)x∈V,∥x∥^2=Σ[i=1..n]||^2ならばXは完

お世話になっています。

[Q]X={x1,x2,…,xn}を内積空間Vの正規直交集合とせよ。この時,次の(i),(ii)を示せ。
(i)spanX=V ならば x∈V,x=Σ[i=1..n](<x,xi>xi)
(ii)x∈V,∥x∥^2=Σ[i=1..n]|<x,xi>|^2ならばXは完全

完全の定義は「正規直交集合Xが完全とはVの中での最大個数の正規直交集合の時,Xを
完全と言う」です。
つまり,#X=max{#S∈N;(V⊃)Sが正規直交集合}を意味します。

証明で行き詰まっています。

(i)については
x∈Vを採ると,spanX=Vよりx=Σ[i=1..n]cixi (c∈F (i=1,2,…,n))と表せる。
これからΣ[i=1..n](<x,xi>xi)にどうやって持ってけばいいのでしょうか?

あと,(ii)についてはさっぱりわかりません。
何か助け舟をお願い致します。

Aベストアンサー

>x=Σ[i=1..n]cixi (c∈F (i=1,2,…,n))と表せる。
<xi,x>を計算すれば終わり

>(ii)についてはさっぱりわかりません
「任意の」x∈Vに対して
∥x∥^2=Σ[i=1..n]|<x,xi>|^2
ならばXは完全

x1,...,xnとは異なるyをとり,
x1,...,xn,yが正規直交であると仮定する.
||y||^2 = Σ[i=1..n]|<y,xi>|^2を計算すれば
矛盾がでてくる.

Q虚数の意味と意義

おそらく、高校の時の数学で、虚数(二乗するとー1)になるというのは、勉強したのですが、その意味するところがわかりませんでした。
最近、量子論や量子力学などを勉強しているのですが、虚数というものが必要であることをしり、改めて考えてみたくなりました。

一、虚数は誰がいつ、何のために考えたのか。
二、虚数の出現の背景。
三、虚数の意味するところ。
四、虚数はなぜ必要か。
五、虚数とはどういう事態を説明するものなのか。

数学が得意でなく、文系の学問をしているので、わかりやすいHPや本、あるいは説明してくださるがおりましたら、ご教授下さい。一項目だけでも答えてくださるとうれしいです。

よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

>、虚数(二乗するとー1)になるというのは、勉強したのですが、その意味するところがわかりませんでした。

 受験数学では意味は教えないんですよ。
ただそうゆうものと覚えろと言われたはずです。

 これですね、目の前で沢山、絵を描いて
説明できると非常に明解だと思うのですが・・・

>量子論や量子力学などを勉強しているのですが、

 周期運動するものの差、つまり位相差を
表現するのに使われますよね。これがミソ
だと思います。

>五、虚数とはどういう事態を説明するものなのか。

 位相空間上の方向・・・というか・・

この話、図を描かないと丁寧な説明ができない
のですが・・・

 オイラーの式というのをどこかで、探して
みて下さい。虚数が三角関数を通じて
回転と結びついていることが分かると
思います。

 そして、どこかでメビウスの帯、若しくは
メビウスの輪というのを探して下さい。

 メビウスの帯びの上に1本の針を置くこと
を想像してみてください。帯びの方向に
ころころ転がしていくのです。
メビウスの帯は途中でねじれているので、
帯を1周すると、針の方向が上向きから
下向きになっていることが分かると
思います。

 これが回転すると1からー1に符号が
変わるオイラーの式の意味するところで、
オイラーの式で、角度を90°とし
2回かけるとー1になることと
関連しています。

 すいません、言葉でうまく説明できません。

>、虚数(二乗するとー1)になるというのは、勉強したのですが、その意味するところがわかりませんでした。

 受験数学では意味は教えないんですよ。
ただそうゆうものと覚えろと言われたはずです。

 これですね、目の前で沢山、絵を描いて
説明できると非常に明解だと思うのですが・・・

>量子論や量子力学などを勉強しているのですが、

 周期運動するものの差、つまり位相差を
表現するのに使われますよね。これがミソ
だと思います。

>五、虚数とはどういう事態を説明するものなのか...続きを読む

Qn次元球面、S^n={(a^1,・・・,a^n+1)∈R^n+1|(a

n次元球面、S^n={(a^1,・・・,a^n+1)∈R^n+1|(a^1)^2+・・・+(a^n+1)^2=1}が可微分多様体の構造をもつことを示せ。

という問題で、証明の中でいくつかわからないところがあります。わからない部分を≪≫で書きます。

証明)Vi^+={(a^1,・・・,a^n+1)∈S^n|ai<0}
   Vi^-={(a^1,・・・,a^n+1)∈S^n|ai>0} (i=1,・・・,n+1) とおくと
≪これらはS^nの開集合でありS^nを覆っている。≫←この部分は当たり前に言えてしまうのでしょうか?
≪これらのVi^+,Vi^-がR^nの開集合E^n={(x^1,・・・,x^n)∈R^n|(x^1)^2+・・・+(x^n)^2<1}と同相であることを示す。≫←何故、同相であることを示すのでしょうか?

写像φi:Vi^+→E^n  φi^-1:E^n→Vi^+を実際に移していく。
この後は何とかわかるのですが最初の方の疑問をどなたかお願いします。

Aベストアンサー

≪これらはS^nの開集合でありS^nを覆っている。≫
開集合であることも、ほぼ自明ですよね。
本当に証明するなら、Vi^+(あるいはVi^-)の任意の点の近傍が、Vi^+(あるいはVi^-)に含まれることを言えばいいです。
また、
V0^+ ∪ V0^- ∪ … ∪Vn+1^+ ∪ Vn+1^- = S^
なんで、実際、覆ってますよね。

≪これらのVi^+,Vi^-がR^nの開集合E^n={(x^1,・・・,x^n)∈R^n|(x^1)^2+・・・+(x^n)^2<1}と同相であることを示す。≫
何故?って、これは多様体の定義そのものです。

多様体というのは、一言で言えば、つまり、
「局所的にユークリッド空間と(同相だと)みなせるような図形のこと」です。
とりあえず、Wikipediaのページの説明を見て、多様体とは何なのか直感的な理解をつかんでください。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%9A%E6%A7%98%E4%BD%93

Q虚数は存在するか?

虚数は存在するのでしょうか?しないのでしょうか?

私の個人的なイメージでは
「2乗して-1になる数なので、実世界上の具体例としては存在しないけれども、複素平面上には存在する数」
なんです。
このように考えて、「虚数は存在する」と、とらえることはできませんか?

虚数を定義した人は、なんと言っているのでしょうか?

Aベストアンサー

かなり昔に得た知識なので詳細は定かではありませんが、
虚数は「存在する」ようです。
もっとも、「極小の世界で考えると」と言う注釈がつきます。

専攻が数学ではないので、「虚数 波動関数」などで調べてみてください。

Qx^n-y^n=(x-y)(x^n-1+x^n-2y+x^n-3y^2

x^n-y^n=(x-y)(x^n-1+x^n-2y+x^n-3y^2+・・・+y^n-1)
となるのはなぜですか?
教えてください。

Aベストアンサー

1+r+r^2+・・・+r^(n-1)=(1-r^n)/(1-r)

r=x/yとおくと

1+(x/y)+(x/y)^2+・・・+(x/y)^(n-1)={1-(x/y)^n}/{1-(x/y)}
故に、
{1-(x/y)^n}={1-(x/y)}{1+(x/y)+(x/y)^2+・・・+(x/y)^(n-1)}

両辺にy^nを乗じて
x^n-y^n=(x-y)(x^n-1+x^n-2y+x^n-3y^2+・・・+y^n-1)

Q虚数単位について

虚数単位について

なんで虚数単位の絶対値は1と言えるんでしょうか?
√(-1)の絶対値はどういうふうに計算したら1なんでしょうか?

Aベストアンサー

複素数 z の「絶対値」の定義は、
z と (z の共役複素数) の積の √ です。

虚数単位 i の共役複素数は -i ですから、
i の絶対値は、√1 になります。

Q確率の問題で、P(a|X|∈y)はP(|X|∈y/a)と言えるのでしょ

確率の問題で、P(a|X|∈y)はP(|X|∈y/a)と言えるのでしょうか?

集合の扱い方がわかりません、助けてください。

以下問題です。
確率変数Xの確率密度関数が遇関数Px(x)であるとき、Y=a|X| (a>0の定数)の確率密度関数
Py(y)をPx(x)で表せ。

Py(y)=P(Y∈y)=P(a|X|∈y)=P(|X|∈y/a)
Px(x)が偶関数なので、P(X∈y/a)=Px(y/a)

と言えるのでしょうか?
問題はA∈Bの両端を右辺・左辺と扱えるかということなのですが…
お手数をお掛けいたします。

Aベストアンサー

P(…) てのは、「…である確率」を表しているのかな?
Px( ) や Py( ) と、ずいぶん紛らわしいけど。
とりあえず、「…である確率」のことは Prob[…] と書いてみる。

Py(y) = Prob[Y∈y] は大間違いで、
Y の累積分布関数が Prob[Y≦y] だから
Py(y) = (d/dy)Prob[Y≦y] となる。

Py(y) = (d/dy)Prob[Y≦y] = (d/dy)Prob[a|X|≦y] = (d/dy)Prob[|X|≦y/a]
= (d/dy){ Prob[X≦y/a] - Prob[X<-y/a] }
= (d/du)Prob[X≦u]・(1/a) - (d/dv)Prob[X<v] }・(-1/a)  ; u = -v = y/a と置いた
= { Px(u) + Px(v) }・(1/a)
= Px(y/a)・(2/a)  ; Px(x)が偶関数なので、Px(u) = Px(v)

もちろん、
これは y ≧ 0 での話で、y < 0 では Py(y) = 0 でなければならないし、
Prob[X≦x] = Prob[X<x] がなりたたないような確率分布では、話が違ってくる。

P(…) てのは、「…である確率」を表しているのかな?
Px( ) や Py( ) と、ずいぶん紛らわしいけど。
とりあえず、「…である確率」のことは Prob[…] と書いてみる。

Py(y) = Prob[Y∈y] は大間違いで、
Y の累積分布関数が Prob[Y≦y] だから
Py(y) = (d/dy)Prob[Y≦y] となる。

Py(y) = (d/dy)Prob[Y≦y] = (d/dy)Prob[a|X|≦y] = (d/dy)Prob[|X|≦y/a]
= (d/dy){ Prob[X≦y/a] - Prob[X<-y/a] }
= (d/du)Prob[X≦u]・(1/a) - (d/dv)Prob[X<v] }・(-1/a)  ; u = -v = y/a と置いた
= { Px(u) + Px(v) }・(...続きを読む

Q二乗して虚数になる数

虚数の計算をしていて疑問に思ったのですが、二乗して虚数になる数と言うのは存在しないのですか?

存在しないのだとしたら、何故存在しないのですか?

Aベストアンサー

質問の文章表現はあなたの気持ちを表していない
と考えました。
 たぶん、X^2=ー1 から i
が出てくるのに
x^2=i から、複素数以外の新しい種類の数が出てこないのは
なぜか?  と言う質問でしょう。
答えは、 複素数が代数閉体だから です。
意味は、複素係数の方程式の答えは複素数である。 ということ
よって、新しい種類の数は代数方程式の解としては出てこない。

Q(x^2)'=2x, (x^1)'=1, (1)'=0, (x^-1)'=-x^-2 そして ∫x^-1 dx = ln|x| + C

(x^2)' = 2x^1 ⇔ ∫2x dx = x^2 + C
(x^1)' = 1 ⇔ ∫1 dx = x + C
※ ln(x)' = x^-1 ⇔ ∫x^-1 dx = ln|x| + C
(x^-1)' = -x^-2 ⇔ ∫-x^-2 dx = x^-1 + C
(x^-2)' = -2x^-3 ⇔ ∫-2x^-3 dx = x^-2 + C
ですが、

なぜ、※のところだけイレギュラーにになるのでしょう?

はるか昔、高校のときに導出方法は習いましたが、
イメージとしては、どう捉えればよいでしょう?

証明等は無くても構いませんので、
直感に訴える説明、あるいは、逆に高度な数学での説明などができる方いらっしゃいましたら、お願いします。

(もしかしたら、高度な数学では、イレギュラーに見えなくなったりしますか?)

Aベストアンサー

sanoriさん、こんにちは。

釈迦に説法みたいな話しかできませんが…。

(x^α)' = α x^{α-1} …(1)

は、α=0 でも、(x^0)' = 0・x^{-1} = 0 (x≠0)ということで成り立ち、実はイレギュラーというわけでもなかったりします。

(x^2)' = 2x^1
(x^1)' = 1x^0 = 1
(x^0)' = 0x^{-1} = 0
(x^{-1})' = (-1)x^{-2} = -x^{-2}
(x^{-2})' = (-2)x^{-3} = -2x^{-3}

ということなので。。。

つまり、(ln(x))') = 1/x = x^{-1} はこのリストとは別の話と解釈するわけです。

積分のほうも、
∫x^-1 dx = ln|x| + C …(2)
のかわりに、
∫0dx = ∫0x^{-1}dx = 0 + C' = x^0 + C
があると思えば、イレギュラーではなくなります。
(2)は、
∫nx^{n-1}dx=x^n+C …(3)
のリストに元々登場していないと解釈するわけです。

また、(3)の両辺をnで割って、
∫x^{n-1}dx = (1/n)x^n + C …(4)
のリストとして考えると、右辺のほうに1/nがあるので、そのリストからは最初からn=0は除外して考えなければなりません。

たまたま、∫x^{-1}dx = ln|x| + C となるので、はまりそうに見えますが、もともと除外していたところに、後から違う種類のものを持ってきてはめ込んだだけと解釈すれば、そこがイレギュラーになるのは不思議ともいえなくなってきます。

また、(4)のリストの立場で考えると、(分母にnがあるので)n=0を除外しなければならないけど、一方、積分∫x^{-1}dxというものは厳然として存在しているので、その隙間に、べき関数とは全く違う関数 ln|x|+C が入ってきているという言い方もできます。これは、べき関数だけでは一覧表が完成しないところに、logでもって完成させているということにもなります。つまりlogという関数は、べき関数のリストの「隙間」に入ってきて、「完成させる」というイメージです。

sanoriさん、こんにちは。

釈迦に説法みたいな話しかできませんが…。

(x^α)' = α x^{α-1} …(1)

は、α=0 でも、(x^0)' = 0・x^{-1} = 0 (x≠0)ということで成り立ち、実はイレギュラーというわけでもなかったりします。

(x^2)' = 2x^1
(x^1)' = 1x^0 = 1
(x^0)' = 0x^{-1} = 0
(x^{-1})' = (-1)x^{-2} = -x^{-2}
(x^{-2})' = (-2)x^{-3} = -2x^{-3}

ということなので。。。

つまり、(ln(x))') = 1/x = x^{-1} はこのリストとは別の話と解釈するわけです。

積分のほうも、
∫x^-1 dx = l...続きを読む


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