ザリスキー位相のコンパクト

ザリスキー位相のコンパクトについてどなたか教えてください。

位相空間の講義で出された問題ですが、何をどうしたら良いかわかりません。
どなたか、証明を解説して頂けると助かります。

問題

ザリスキー位相の任意の部分空間はコンパクトであることを示せ。

ザリスキー位相：Ｏ＝｛Ａ⊂Ｒ｜Ａ＾ｃは有限集合｝∪｛Φ｝


よろしくお願いします。

No.1 回答者： berokanda 回答日時： 2013/01/31 23:57

定石通りです。

Rの任意の部分集合Xを取ります。
Xの任意の開被覆｛U(λ)}をとります。
X⊂∪{U(λ)}=:Uと置きます。

U(λ_0)≠∅なるλ_0をとります。
Oの定義から、u_1,...,u_n∈Rが存在して
(A(λ_0)^c)＼(U^c)={u_1,...,u_n}
※「M^c」はMの補集合、「M＼N」はM∩(N^c)を表すとします。

このとき、λ(1)が存在して
u_1∈A(λ_1)かつ{(A(λ_0))∪(A(λ_1))}＼(U^c)⊂{u_2,...,u_n}

以下同様にして
u_2∈A(λ_2)かつ{(A(λ_0))∪(A(λ_1))∪(A(λ_2))}＼(U^c)⊂{u_3,...,u_n}
u_3∈A(λ_3)かつ{(A(λ_0))∪(A(λ_1))∪(A(λ_2))∪(A(λ_3))}＼(U^c)⊂{u_4,...,u_n}
・・・

以下省略しますので残りはご自分でどうぞ。

No.2 回答者： berokanda 回答日時： 2013/02/01 00:03

#1ですがひどい間違いがあったので差し替えお願いします。

----------------------------------------------------
Rの任意の部分集合Xを取ります。
Xの任意の開被覆｛A(λ)}をとります。
X⊂∪{A(λ)}=:Aと置きます。

U(λ_0)≠∅なるλ_0をとります。
Oの定義から、u_1,...,u_n∈Rが存在して
(A(λ_0)^c)＼(A^c)={u_1,...,u_n}
※「M^c」はMの補集合、「M＼N」はM∩(N^c)を表すとします。

このとき、λ(1)が存在して
u_1∈A(λ_1)かつ[{(A(λ_0))∪(A(λ_1))}^c]＼(A^c)⊂{u_2,...,u_n}

以下同様にして
u_2∈A(λ_2)かつ[{(A(λ_0))∪(A(λ_1))∪(A(λ_2))^c]}＼(A^c)⊂{u_3,...,u_n}
u_3∈A(λ_3)かつ{[(A(λ_0))∪(A(λ_1))∪(A(λ_2))∪(A(λ_3))}^c]＼(A^c)⊂{u_4,...,u_n}
・・・

（以下省略）

No.3 回答者： berokanda 回答日時： 2013/02/01 00:05

たびたびすみません。

訂正です。

U(λ_0)≠∅なるλ_0をとります。
↓
A(λ_0)≠∅なるλ_0をとります。

この回答へのお礼

berokandaさん、迅速なご回答ありがとうございます。
これを参考にまた考えてみます。本当にありがとうございました。

お礼日時：2013/02/01 01:08

No.4 回答者： jmh 回答日時： 2013/02/01 23:45

「ザリスキーはコンパクト」を考えてみました。

１．ザリスキだから、１つの空でない開集合だけで、高々有限個を除く全体を覆える。
２．溢れた有限個は、それぞれを他の有限個の開集合で覆う。
３．最初のと併せて有限個の開集合で必ず全部覆える。
残りは、例えば「ザリスキの部分空間はザリスキか？」だと思います。