級数の極限

タイトルのとおり級数の極限の問題についての質問です。
Σ∞（cos n / n^2)　は収束か発散か調べなさいという問題です。-1 =< cos n =< 1を利用してはさみうちかな？と考えているのですが、そのあとの計算ができず、断念。もしよければ、何かヒントをいただけないでしょうか？

No.8 回答者： siegmund 回答日時： 2005/12/26 14:40

siegmund です．

oyaoya65 さん，おほめいただきありがとうございます．
oyaoya65 さんのご回答は数学や物理のカテゴリーで最近よく拝見しています．

Σ{n=1 → ∞} [cos(n) / n^2]
ですから，いかにもフーリエ級数という形をしていますよね．
それから，有名な和
Σ{n=1 → ∞} (1 / n^2) = π^2/6
を示す１つの方法が，No.6の(2)で x=0 と置く方法です．
そういうわけで，私の場合は，
考えたと言うよりは「ほとんど知っていた」でした．

この回答を書く前に，
複素積分の留数定理で
f(z) = cos(z) coth(πz) / (z^2+a^2)
の極を拾う方法もちょっと考えました．
coth(πz) の極 z=n からの寄与を考えて a→0 とするとちょうど問題の和になります．
あとは，1/(z^2+a^2) の極からの寄与を引けばよい，という仕組みです．
ただし，cos(z) があるため無限円からの寄与が残り，
もう少し工夫が要るようです．

No.7 回答者： oyaoya65 回答日時： 2005/12/25 23:46

#5です。

A#6さんの回答のフーリエ級数展開を利用する方法は思いつきませんでした。A#6さんの解答には脱帽です。
多分この方法以外には極限（収束値）の正確な値は求まりませんね。

確認しましたが、正に正解の級数の極限（収束値）が出ますね。

なお、収束値は、私がA#5で数値計算で求めた下限と上限の間に入っていますね。
0.32411＜収束値(2π^2-6π+3)/12≒0.324137＜0.32417

No.6 回答者： siegmund 回答日時： 2005/12/24 02:04

No.5 の oyaoya65 さんのご回答は，

問題無限級数が絶対収束することを示しているものですね．

さて，収束値ですが，
(1)　　f(x) = (π-x)^2　　(0≦x≦2π)
に対するフーリエ級数展開
(2)　　f(x) = (π^2/3) + 4 Σ{n=1 → ∞} cos(nx) / n^2
で x=1 とおけば，
(2)の右辺第２項が問題の級数の４倍ですから，直ちに
(3)　　収束値 = (1/12) (2π^2 - 6π + 3) ≒ 0.324138
と求められます．

No.5 回答者： oyaoya65 回答日時： 2005/12/23 12:34

#1,#3です。

#2=#4さんの言われるように
lim(a_n)とlim(Σa_n)と勘違いしていました。
#3は取り消して修正します。

Σ(k=0->n）{(cos k)/k^2)｝≦Σ(0->n）{|cos k|/k^2)｝
≦Σ(k=0->n）{1/k^2)｝

lim(n->∞)Σ(k=0->n）{1/k^2)}＝Σ(k=0->∞）{1/k^2}
＝(π^2)/6≒1.64493（nを正整数とした場合）

ですので上限が存在しますので、収束はすることはいえます。

nが正整数なら-1<cos n<1（nが正整数のとき等号はなし）ですので、cos nの値はnの増加と共に規則性がないため、収束値がはっきりした数値には定まらないでしょうね。ただし、(cos n)/n^2→0にいき、無限項の和の上限が(π^2)/6を超えないことから収束はします。

下限は
cos　n≧-1 から
Σ(k=0->n）{(cos k)/k^2)｝≧Σ(0->n）{-|cos k|/k^2)｝
≧Σ(k=0->n）{-1/k^2)｝＝-(π^2)/6

下限も存在します。

収束値は数値計算でひたすらnを増加させていき求めるしかないかもしれません。しかし収束性は(cos n)が不規則に符号が変化するため、非常に悪いです。
数値計算ではcosが周期2πの周期関数のため、nから2mπを差し引くためcosの角度の有効桁数がnの桁数が増えるにつれ減少して、cos(n)の計算精度が落ちてきます。
Mathematicaを使ってn=1～242までnを1ずつ増加して収束状況を見て見ましたが
0.32411＜Σ[k=1, ∞] cos(k)/k^2＜0.31417
の範囲に収束するようです。
（nを余り大きくしてもcos(n)の数値計算誤差が入るため収束値に計算精度が落ちる可能性がでるようです。n=10000位にしてみた結果では計算誤差が大きくなって正確に計算できなくなるようです。）

参考までに以下は正確な収束値が求まります。

Σ[k=1, ∞] cos(kπ)/k^2＝-(π^2)/12
Σ[k=1, ∞] cos(kπ)/(kπ)^2＝-1/12
Σ[k=1, ∞] cos(2kπ)/(2kπ)^2＝1/24
Σ[k=1, ∞] cos(2kπ)/k^2＝(π^2)/6

No.4 回答者： eatern27 回答日時： 2005/12/22 23:02

#2です。

＞lim(n->∞)|(cos n)/(n^2)|=0だとΣ(0->∞）{(cos n/n^2)｝=0に収束するのですか？
Σa_nが収束するならlima_n=0になります。
しかし、lima_n=0だからと言って、Σa_nが収束するとは限りません。
(例えば、a_n=1/nの場合、lim(1/n)=0ですが、Σ(1/n)は発散します)

なので、cosn/n^2→0 (n→∞)である事が分かっても、Σ[n:1→∞]cosn/n^2が収束するかどうかは分かりません。

#1=#3さんは、多分、Σ[n:1→∞]cosn/n^2ではなく、lim[n→∞]cosn/n^2と勘違いされているのではないかと思います。

ちなみに、数値計算させてみた感じでは、0.3241の辺りに収束しそうです。

No.3 回答者： oyaoya65 回答日時： 2005/12/22 22:11

#1です。

＞lim(n->∞)|(cos n)/(n^2)|=0だとΣ(0->∞）{(cos n/n^2)｝=0に収束するのですか？

|(cos n)/(n^2)|の上限がゼロに収束し
下限もゼロですので
はさみうちで
|(cos n)/(n^2)|→0
絶対値がゼロに収束することは
絶対値の中身がゼロに収束すること
つまり
(cos n)/(n^2)→0
同値ということです。

つまり極限のゼロには符号は考えなくてよいということですね。

No.2 回答者： eatern27 回答日時： 2005/12/22 20:59

＞1 =< cos n =< 1を利用してはさみうちかな？

多分、その級数はよく分からない数に収束しますので、はさみうちを使うのは難しい気がします。
でも、-1≦cosn≦1を使う事に間違いはないでしょう。

ヒントとしては、
Σ1/n^2は収束する
絶対収束する級数は、収束する
上に有界で、各項が非負である級数は、(単調増加なので)収束する

と言ったところでしょうか。

No.1 回答者： oyaoya65 回答日時： 2005/12/22 20:52

0≦|cos n|≦1を利用して

0≦|(cos n)/(n^2)|≦1/(n^2)
0≦lim(n->∞)|(cos n)/(n^2)|≦lim(n->∞)1/(n^2)＝0

のはさみうちで良いかと思います。

この回答への補足

lim(n->∞)|(cos n)/(n^2)|=0だとΣ(0->∞）{(cos n/n^2)｝=0に収束するのですか？級数なのでやっかいな雰囲気がででます（＞＿＜）

補足日時：2005/12/22 21:03