an=1/√nとするとき、｛an｝⊆RがCauchy列であることを示せ

an=1/√nとするとき、｛an｝⊆RがCauchy列であることを示せという問題の解き方がわかりません。

｛an｝がCauchy列であることの定義式は、
∀ε＞0, ∃N∈N, n,m＞N⇒∥an-am∥＜ε
です。

この定義式の意味はわかったのですが、どのようにこれを示せばよいのかわかりません。
回答よろしくお願いします。

No.3 回答者： kabaokaba 回答日時： 2010/01/04 07:36

No.2です

一ヶ所書き間違った
> |an-am| <= |an|+|am| = 2|an|

ではなくて

|an-am| <= |an|+|am| <= 2|an|

です.
蛇足：収束値をaとすれば
|an-am| <= |an-a -(am-a)| <= |an-a|+|am-a| <= 2|an-a|
とすれば，一般の場合
「収束列はコーシー列」
も示せる

No.2 回答者： kabaokaba 回答日時： 2010/01/04 07:34

級数の収束の問題は放置か？

さて，一般性を失わず n>=mとしてよいので
|an-am| <= |an|+|am| = 2|an|
an->0なので
任意のε>0に対して，十分大きなNが存在し
n>Nならば，|an|<ε/2
つまり
n,m>Nならば|an-am|<ε

＃これは「収束する数列はコーシー列である」という定理の
＃証明を少しもじっただけで，1/√n であること
＃そのものは使ってない

No.1 回答者： proto 回答日時： 2010/01/03 23:06

ceil(x)を天井関数として、

N=ceil((2/ε)^2)となるようにNをとると、
　　N = ceil((2/ε)^2) > (2/ε)^2
　　N > (2/ε)^2
　　√N > 2/ε
　　1/√N < ε/2
となる。

また、n>Nのとき
　　n > N
　　√n > √N
　　1/√n < 1/√N
が成り立つ、同様にm>Nのとき
　　1/√m < 1/√N
も成り立つ。

さて、三角不等式より
　　|an - am| = |1/√n - 1/√m| ≦ |1/√n| + |-1/√m|
　　　　　　　≦ |1/√n| + |1/√m|
　　　　　　　≦ 1/√n + 1/√m < 1/√N + 1/√N < ε/2 + ε/2 = ε
よって、N=ceil((2/ε)^2)、n,m>Nのとき
　　|an - am| < ε
となる。

細かいところをいろいろ端折ってますが、証明の流れはこんなもんだと思います。