正の数・負の数の計算、及び円の面積についての素朴な疑問

Question

(1)中学校に入って習う正の数・負の数ですが、「＋」と「－」をかけると、「－」になり、「－」と「－」をかけると「＋」になります。規則として覚えればよいだけの話かもしれませんが、れっきとした数学上の理由があるはずです。

(2)また、円の面積の求め方で「半径×半径×３．１４」というのがありますが、この公式もどのように導かれたのでしょうか。つまり、どうしてこう計算すると円の面積を求められるのでしょうか？また、これに関係した質問なのですが、結局、円周率「３.１４…」というのはどのようして突き止めることができたのか知りたいと思いました。
どなたかご存知の方、ご教授願えればありがたいです。

zuntac · Accepted Answer

（１）例えば、
(-3)x 4 = -12   これはいいですね。
同様にして、
(-3)x 3 = -9
(-3)x 2 = -6
(-3)x 1 = -3
(-3)x 0 =  0
かける数を減らしていく(4, 3, 2, 1, 0)と答えはどん
どん増えていきます。かける数がマイナスになって
も連続して増えていくと考えるのが自然です。
(-3)x   0 =  0
(-3)x (-1) = 3
(-3)x (-2) = 6
(-3)x (-3) = 9
だからマイナスかけるマイナスはプラスになると
数学では決められています。

（２）図を書いて説明するのがいいのですが、
文章だけで説明します。
半径ｒの円があります。これを半分に切って２枚
にします。さらにその２枚をそれぞれ半分に切って
４枚にします。それをどんどん繰り返していくと
高さがｒの細い扇形がたくさんたくさんできます。
こうしてできた細い扇形の一枚を円弧を下にして
置きます。その隣に次の扇形を円弧を上にして並べ
ます。その隣には円弧を下にして並べます。これを
繰り返して、全ての円弧を並べます。そうすると
高さｒで、幅がｒxπ(パイ)の長方形ができます。
（長方形の幅は半径ｒの円周(2rπ)の半分なので
ｒπになります。）
この長方形面積は最初の細かく切る前の円の面積と
等しいはずです。
長方形の面積は、高さ（ｒ）x幅(ｒxπ)なので
r x r x π となります。つまり、円の面積は
半径×半径×3.14 になります。

m-a-g-i · Answer

2)に関しては十分に回答が出ていると思うので省略します。Googleで検索しても良いと思いますし。

1)に関して簡単な証明をします。

この証明は、「自然数」「０」「和」「積」の概念を知っていることを前提とします。
負の数と０を含む自然数数の集合を整数といいます。
整数は2つの（0を含む）自然数の組の集合でもあります。
自然数a,bの組を(a,b)と表記します。
この「組」の集合に関して、和(+)と積(・)を以下のように定義します。(この、組同士の和・積は自然数同士の和・積とは関係ありません）
(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)
(a,b)・(c,d)=(ac+bd,ad+bc)

この「組」の集合に関して、以下のような「関係性」を定義します。この関係を「～」で表します。
(a,b)～(c,d)とは、
a+d=b+c
であることを示す。

この「組」の集合の中から、「関係性」を持たないもの同士だけを集めて作られた集合を、「(N×N)^」と書くことにします。(実はこの集合のことを日本語で整数といい、世界中の多くの国では「(N×N)^」と書くのは面倒なので、「Z」の記号で代用します。)

(N×N)^の中にある(a,0)を、「a」と書くことにします。この「a」は自然数ではなく、整数ですが、性質は自然数と変わりません。
(N×N)^の中にある(0,1)を、「-1」と書くことにします。これが一般に使われる「-1」の定義です。

本題に入ります。というか、定義に沿って計算するだけですが。
(-1)・(-1)=(0,1)・(0,1)
         =(O+1,0+0)
         =(1,0)
         =1
より、証明終了です。

多分細かいとこでは間違っているだろうと思いますが、大筋はこんな感じです。

momochu · Answer

（1）1万円の請求書を＋1万円とします。1万円の借用書を－1万円とします。
請求書又は借用書をもらう行為を＋とし、渡す行為を－とします。

例えば次の4通りを考えてください。

請求書を2枚渡せば（＋1万円）×（＋2）＝＋2万円
財産が2万円になりました。

借用書を2枚渡せば（－1万円）×（+2）＝－2万円
借金が2万円になりました。

請求書を2枚もらえば（＋1万円）×（－2）＝－2万円
借金が2万円になりました。

借用書を2枚もらえば（－1万円）×（－2）＝＋2万円
財産が2万円になりました。

いかがでしょうか？


（2）
円の面積は下記のサイトがわかりやすいと思います。

http://www.shirakami.or.jp/~eichan/java/java66/pair2.html

切込みをどんどん細かくしていけば長方形に限りなく近づきます。

他にも考え方はいくつかありますが、この考え方が一般的だと思います。


また、円周率の求め方の方法もいろいろありますが、視覚的に見てわかり易いのは円に内接する正多角形の角をどんどん増やして、正多角形の外周の長さより求めるのがわかり易いと思います。角を多くすれば多くするほど、正多角形＝円とみなすことができます。その外周を直径で割れば円周率が出ます。

AsanoNagi · Answer

かけ算の符号については、「規則として覚える」としても、「－」×「－」＝「＋」ではなく、
１）正の数をかけても符号は変わらない
２）負の数をかけると符号が反転する
の２つを覚えた方が、幾分か自然に思えませんか？
だから、「＋」×「－」は（符号が反転して）「－」だし、「－」×「＋」は（符号がそのままで）「－」だし、「－」×「－」は（符号が反転して）「＋」です。

kazaguruma87 · Answer

＃４です。誤字訂正します。
上から11行目

　｜（－ｂ）ａ｜＝ｂａ

は

　｜（－ａ）ｂ｜＝ａｂ

です。失礼いたしました。

kazaguruma87 · Answer

厳密な証明になるか分かりませんが。

（１）はａ×０＝０という性質と分配法則をを利用すればどうでしょうか。

ａ＞０、ｂ＞０とする。

　ａ×（ｂ－ｂ）＝０
ａｂ＋ａ（－ｂ）＝０

ａｂ＞０なのでａ（－ｂ）＜０
また｜ａ（－ｂ）｜＝ａｂ

　（ａ－ａ）×ｂ＝０
ａｂ＋（－ａ）ｂ＝０

ａｂ＞０なので（－ａ）ｂ＜０
また｜（－ｂ）ａ｜＝ｂａ

以上から
ａ（－ｂ）＝（－ａ）ｂ＝－ａｂ


（－）（－）＝（＋）も同様に

（－ａ）×（ｂ－ｂ）＝０
（－ａ）ｂ＋（－ａ）（－ｂ）＝０

先ほどの証明で（－ａ）ｂ＜０とわかっているので

（－ａ）（－ｂ）＞０

と分かりますし、先ほどの式を移項すれば

（－ａ）（－ｂ）＝ａｂ

となります。

また代数では、元や逆元を使用してこれらを証明しています。


（２）については、円をまずは８等分くらいに切ってみてください。それらを向きをそろえ一列に並べ、次にひとつおきに上下ひっくり返してつなげます。すると蛇行した図形が出来上がります。これをだんだんきる数を増やしていくとでこぼこが少なくなり、∞等分して組み合わせると長方形が出来上がります。この長方形の縦は半径、横はちょうど円周の半分の長さです。したがって円周は半径に比例しているので、仮に比例定数を２πと置いてやれば長方形の面積は

　縦×横＝ｒ×２πｒ/２＝πｒ＾２　（ｒ：半径）

この長方形は円を変形させたものなので当然円の面積もこれに等しいので、円の面積は

　πｒ＾２

となるわけです。πの求め方はいろいろな人たちがいろいろな方法で求めましたがご存知の通り３．１４ですよね。

fallen_angel · Answer

（１）のみね。
ベクトルで考えると良いかも。
・中央が０で、右方向が＋　左方向が－　とします（算数の教科書に出てきますよね？）
・＋の掛け算は、掛けられる数の方向（－１なら－方向へ掛けた数分移動）
・－の掛け算は、掛けられる数と逆の方向（－１なら逆の＋方向へ掛けた分移動）
どうでしょうか？

【蛇足】
・分数の掛け算は、簡単ですよね？　分母の数で何等分に分けられるかですから。
・では、分数の割り算で分母と分子をひっくり返すのは？
１÷１／４＝４ですよね？　一つの物を何個の分けられるか、、１つの物を４つに分ける（÷）れば　４つになります。これでどう？

kappath · Answer

(1)のほうですが。。。
感覚的に理解すると、こんな感じです。

あなたは今、借金をしました。
1万円の借金を抱えているとしましょう。
この状態で、あなたは-１万円です。

その借用書を、お父さんが「引き取ってあげよう」といったとします。
あなたは、-１万円を、お父さんにあげることになります。
つまり、あなたから見ると、
-１万円を引くことになります。
すると、どうなるでしょうか。
あなたに残っているのは0円になります。
この計算を見ると、こんな感じです。

-１万円-(-１万円)=-１万円+１万円=0円

もっと数学的な解説もあるのでしょうが、
僕の解説はこんな感じです。

char2nd · Answer

円の面積に関しては、下記サイトが参考になるでしょう。
http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/circle/circle4.htm

正の数・負の数の計算、及び円の面積についての素朴な疑問

（１）例えば、

2)に関しては十分に回答が出ていると思うので省略します。

（1）1万円の請求書を＋1万円とします。

かけ算の符号については、「規則として覚える」としても、「－」×「－」＝「＋」ではなく、

＃４です。

厳密な証明になるか分かりませんが。

（１）のみね。

(1)のほうですが。

円の面積に関しては、下記サイトが参考になるでしょう。

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