Aを正規行列とすると適当な対角行列Λと適当なユニタリ行列Uが存在してU^*・A・U=Λである
λとμを異なる固有値として
Uの列ベクトルでありλの固有ベクトルであるベクトルが張るベクトル空間をPとし
Uの列ベクトルでありμの固有ベクトルであるベクトルが張るベクトル空間をQとしたとき
PとQは直交しλの固有ベクトルはPの元でありμの固有ベクトルはQの元であるから「λの固有ベクトルとμの固有ベクトルは直交する」

上の証明について質問します
(1)結論は正しいですか?
正しければ
(2)証明に穴はありますか?
あれば
(3)どのように証明したらいいでしょうか?

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A 回答 (4件)

線型代数の教科書をみると


動機としては、内積が定義されているときに
ユニタリー行列で対角化できる行列ってなんだ?
というのが普通のようです。そこで、正規行列としてA^*A=AA^*
を出してくる場合もあるし、U^*AUが対角化されていると
(U^*AU)^*U^*AU=U^*AU(U^*AU)^*
であることから、A^*A=AA^*を導き出している場合もあるようです。
いずれにせよその後、A^*A=AA^*であれば対角化できることを示すのが
普通のパターンのようです。
正規行列の固有値が直交するのは
A|λ>=λ|λ>のときA^*|λ>=λ~|λ> (~は複素共役)
であることを使って
<β|A|α>=α<β|α>=β<β|α> (<β|A=((A^*)|β>)^*=(β^*|β>)^*)
により示すようです。
ここで、A^*|λ>=λ~|λ>は
<λ|(A-λI)^*(A-λI)|λ>=<λ|(A^*-λ~I)^*(A^*-λ~I)|λ>=|(A^*-λ~I)|λ>|^2
であるためです.

あと、私の「「直交する空間」も結局不動点ができるから...」
というのも変ですね。

結局、A^*A=AA^*が必要でそのあと十分であることが示されるようです。
このあたりの流れを私が理解していないため混乱してしまいました。

正規行列というのをはじめて知ったので
(物理系であるためエルミートばっかりしか考えたことがなかったので)
とても勉強になりました。

とくにA^*とAの固有値が共役の関係にあるというのが
A^*とAが可換であることから導かれるというのがとても面白と感じました。

以上、お騒がせしました。
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この回答へのお礼

私の方も正規行列はユニタリ行列によって対角化されるというのを使って
結論を導いたのはルール違反ですね
高級な定理で簡単に証明できるものを証明しているのですから
そのような定理を使わなくても簡単に証明できるのにね
ただ結論を知るのが目的だったのですが昔の本を読み返してみると
定理として載っていました
その証明は上と同じものでした
出す前にもう少し調べてみないといけませんね
解決!
長い間どうもありがとうございました

お礼日時:2002/01/08 22:36

U・Λは思いっきり間違ってしまいました。


結果としては
(0,0,...,0,1,0,...,0)がj番目の要素が1でそれ以外が0、Λのjj要素をΛjj、
とすると
U・Λ(0,0,...,0,1,0,...,0)=ΛjjU(0,0,...,0,1,0,...,0)
なので最終的にはあっていたということで許してください。
証明に難があるというわけではありません。
A^*A=AA^*という関係については、nuubouさんの定義から
導出すべきもののようで、これを私は逆におもっていただけのようです。
(つまり、正規行列というのは
 異なる固有値に対応する固有ベクトルが直交するような行列
 という定義なのではないでしょうか?
 異なる固有値に対応する固有ベクトルが直交する
 ということは別な言い方で言えば、
 行列Aの一つの固有ベクトル|α> に直交する空間{<β|;<β|α> = 0}が
 その写像Aに対して不変な部分空間でなければならない、
 となると思います。「直交する空間」の残りの空間は1次元なので
 再びA^*の固有ベクトルとなり同時固有ベクトルであることが必要とされると思います。
 そして、「直交する空間」も結局不動点ができるから
 その中から固有ベクトル得られて...
 と繰り返して最終的直交する固有ベクトルの系列ができる仕組みをあたえている
 というような感じなのではないでしょうか?)
ということで、ごちゃごちゃややこしくしてしまい申し訳ありません。
(というかあくまでもアドバイスということでご容赦下さい。)

あと、縮退ですが、物理用語なのかも知れません。同じ固有値が
1つ以上の固有ベクトルをもつということです。

この回答への補足

とういことは
正規行列の定義を「A^*・A=A・A^*であるような行列A」で始めたか
「異なる固有値に対応する固有ベクトルが直交する行列」で始めたかの違いで
両者は同値であるということですか?

結論が正しいとすると
正規行列Aを対角化するユニタリ行列を求める手順は
(1)Aの固有値をすべて求める
(2)求めたすべての固有値について各固有値ごとに固有空間を求める
(3)求めたすべての固有空間について各固有空間ごとに正規直交基底を求める
(4)求めた正規直交基底をすべて並べてユニタリ行列とする
でよろしいのでしょうか?

補足日時:2002/01/04 20:17
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結論だけだとU^*・A・U=Λとなっている行列に対して


(0,0,...,0,1,0,...,0)
というベクトルが固有ベクトルでかつ互いに直行していますよね。
AU(0,0,...,0,1,0,...,0)=ΛU(0,0,...,0,1,0,...,0)
なのでU(0,0,...,0,1,0,...,0)が固有ベクトルです。
そして、ユニタリ変換なので互いに直行しています。
ということになります。というのでよろしいでしょうか?
Aの固有値とA^*の固有値の関係が
よくわからないのでぐだぐだ書いてしまいました。

この回答への補足

とういうことは証明に難点があるのですね

ところで
A・U=Λ・Uと書いてありますがA・U=U・Λの書き間違いですよね
縮退の意味を教えていただきたいのですが
よろしくお願いします

補足日時:2002/01/04 03:40
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(用語がよくわからないので適当につかってます。


A^*A=AA^*ですから、縮退していなければ
A^*とAとの間に同時固有ベクトルがあって、
縮退していなければそれらは直交します。
質問の縮退してる場合はそれぞれの固有値に対応する固有ベクトルの空間の
一つの元がもう一方のベクトルの線型結合で表されて
例えばAの固有値αに対応するベクトル{|αi>;i=1,2,...}
に対して、
A^*|αi> = Σk_{ij}|αj>
(k_{ij}は係数)と表せることから適当に直交化して
A^*|αi'> = α~|αi'>
(α~はAの固有値αに対応する同時固有ベクトルについてのA^*の固有値)
となるように選べば
<αi'|A|βj> = β<αi'|βj> = α~^*<αi'|βj>
(β-α~^*)<αi'|βj> = 0
で(β-α~^*)が0でなければ<αi'|βj> = 0 となって
直交する成分があるのが分かります。
A^*で{|αi>;i=1,2,...}をA^*の
固有値α~に対応する固有の基底{|αi'>}に全部
振り分けれるかは分かりません
(双対の関係なのでそうなるような気がしますが。
 その意味でA^*Aの固有空間とA,A^*それぞれの同時固有ベクトルを
 考えるほうがいいのかもしれません。
 ラプラシアンとナブラ演算子の関係?)
半端で申し訳ありません。続きは別途考えます...

この回答への補足

縮退の意味を教えていただきたいのですが
重根と言う意味ではないのでしょう
Aの次数は有限ですがAの固有ベクトルは次数分ありますよね?
一番知りたいのは(1)の結論が正しいかどうかです
証明はできたらでいいのでそれだけども教えていただいたらと思います
よろしく

補足日時:2001/12/28 22:16
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Q直交表の割付について

直交表の割付について教えてください。

当方、コンジョイント分析で活用する予定です。
通常直交表は2水準型、3水準型、混合型とありますが、例えば、L8直交表においては項目が8つあり、実験数も8あります。

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そこで、

(1)そもそも直交表においては項目数に満たない場合でも問題ないのか?(L12であれば、11項目あるが、10以下でもよいのか)

(2)(1)の要件を満たす場合、どの項目に当てはめてもよいのか?(当てはめる決まりはあるのか?例えば、左からその項目数だけ埋めていくなど)

以上(1)(2)について教えていただけると助かります。
よろしくお願い致します。

Aベストアンサー

まず、
>L8直交表においては項目が8つあり、実験数も8あります。
項目は7つですよね?

(1)問題ありません。というか全て埋めてはいけません。最低でも一項目残っていないと誤差が計算できません。L8は割り付けられていないところでのデータのゆれを誤差として計算して、その大きさと要因によるデータ変化の大きさを比較して有意を判定します。

(2)割り付け水準の所に成分あるいは要素と書いたアルファベットが付記されていないでしょうか?
通常、a,b,ab,c,ac,bc,abcなどと書いてあります。
これの見方は記号の足し算(あるいは引き算)です。
例えばa,bに項目を割り付けると交互作用がabに現れますのでここを避けて例えばcに割り付けます。
aとacに割り付けたらcはその相互作用がでますので避けます。
a+b→ab(記号の足し算)
a+ac→c(同じ記号があれば引き算)
交互作用が明らかに無いと分かっているときは避けなくてもいいですが、わざわざそこに割り付ける必要も無いでしょうからそこだけは避けて後は自由に割り付けてください。

まず、
>L8直交表においては項目が8つあり、実験数も8あります。
項目は7つですよね?

(1)問題ありません。というか全て埋めてはいけません。最低でも一項目残っていないと誤差が計算できません。L8は割り付けられていないところでのデータのゆれを誤差として計算して、その大きさと要因によるデータ変化の大きさを比較して有意を判定します。

(2)割り付け水準の所に成分あるいは要素と書いたアルファベットが付記されていないでしょうか?
通常、a,b,ab,c,ac,bc,abcなどと書いてあります。
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Q行列(固有値と固有ベクトル) (1)固有値が√の固有ベクトル

数学の行列の固有値と固有ベクトルの問題ですが、
(1  3)
(2 -1)
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d(λ-1  -3)
e(-2  λ+1)
t

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と固有値が出ると思うのですが、固有ベクトルを求める時、λ=√7の時、
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(√7 -1    -3)(x1) (0)
(-2    √7 +1)(x2)=(0) になって、
固有ベクトルをどう求めるのかがわかりません。
√以外だと、左上を1にして求めていけばいいと思うのですが・・・

Aベストアンサー

#2です。
A#2の補足の回答
> α(1   )
>  ((√7-1)/3) 
> ということですね
そうです。

固有ベクトルは、αは何でもいいですから、適当に定めていいですね。
たとえば
α=1でも3などいずれでもいいですね。

同様にλ=-√7に対する固有ベクトルは
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Qフローリング貼りの割付についてです

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Aベストアンサー

見習い大工のマサルです
フローリング(フロア)施工ということですが、
基本的な事ですが、長辺方向でも短辺方向でも基本的には同じ量の
フロアを使います。長辺方向で施工の際足りないなら短辺で施工しても
足りません。
フロアは幅3寸(900mm)で実(さね:オスとメス)付きですよね?
長さが6尺(1820mm)。
貼り方としては、長辺が3670mm(12尺1寸1分)ですので
フロアの長さが1寸1分(33mm)足りませんのでそういう場合は
プロだと左右は均等にするので半端な貼り始めにして小さな
フロアを貼らない様にするのですが、今回の場合はどうやっても
半端が入ってしまうので、16mm以上の巾木を使うのが無難です。
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幾らか難しいですがあると思います。(ホームセンターは安いが
質が悪いというか節の多いものが中心の様ですし)
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16mm壁から離して貼っていきます。そうすると1列目の2枚目(最後)も
同じ位の隙間があいて左右対称になると思います。
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までを1枚張ります。(フロアを長手真ん中から切って
3尺(910mm)を貼る)こういう感じでジョイントをずらして
貼って行きます。
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2列目は、3尺を貼り始めにします。
これを繰り返していって貼っていきます。
貼っていく距離の方(短辺)が12尺(3640mm)ですので、
マモノ貼りだしでちょうどの予定です。
こんな感じでご理解頂ければ幸いです

見習い大工のマサルです
フローリング(フロア)施工ということですが、
基本的な事ですが、長辺方向でも短辺方向でも基本的には同じ量の
フロアを使います。長辺方向で施工の際足りないなら短辺で施工しても
足りません。
フロアは幅3寸(900mm)で実(さね:オスとメス)付きですよね?
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貼り方としては、長辺が3670mm(12尺1寸1分)ですので
フロアの長さが1寸1分(33mm)足りませんのでそういう場合は
プロだと左右は均等にするので半端な貼り始めにして小さな
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Qベクトルuは必ず行列u(uT)の固有ベクトルか?

問題

0でないベクトルuは必ずベクトルuとその転置ベクトルuTの積、
行列u(uT)の固有ベクトルとなるか?
***

上記の問題がお分かりの方、ご説明をお願い致します。

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証明まで含めてご説明頂けますようお願い致します。

仮に成り立たないようであれば、反例をお願い致します。

Aベストアンサー

「説明」も何も, 全部書いてるじゃん.

Qリトルエンディアンの1byteデータのビット割付

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メモリに割りついているって認識なんですけども、ビット割付も逆転している認識
で問題ないでしょうか?

例えば、1byteの0x1Fというデータがリトルエンディアン方式のビット割付だった場合
1111 0001という割付になるのでしょうか?

Aベストアンサー

バイト内のビット割付ってそもそもプログラム上で意味ないですよ。
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バイトオーダーはネットワークでバイト列をどう解釈するかから出てきた問題ですしね。

意味を付けるとするとビットフィールドがどの順に並ぶかですかね。

Q共分散行列の固有値・固有ベクトルの行列

以下のようなデータを用いて、共分散行列を生成するとします。
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x1 x2 x3 x4 x5
No.1 [2 4 5 2 1]
No.2 [3 10 8 7 9]
No.3 [11 3 2 1 6]

すると、共分散行列は3×3の正方行列になり、その固有値も3つ求まりますよね。
しかし、固有ベクトルに関してはデータがx1,x2,..,x5と5次元で考えているので、
ひとつの固有値に対して5つの成分を持つ固有ベクトルが求まりますよね。
よって、共分散行列の固有値行列は必ず正方行列になりますが、固有ベクトルの
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必ずしも正方行列にはなりませんよね?そのあたりを教えて頂きたいと思います。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

共分散行列のik成分をA_ikと書くと,
A_ik=(1/N)Σ[j=1 to N](xij-μi)(xkj-μk)
となります。Nはデータ件数,xijはj件目のデータにおける第i変数の値,
jはデータ件数を走る添え字,
i,kは変数次元を走る添え字で,μkは第k変数の平均値
を表します。
(例で言うと,Nは生徒の人数,jは出席番号,μ1は英語の平均点,μ2は国語の平均点etc)

>共分散行列 = E[(x-E[x])(x-E[x])^t] ^tは転置 Eは期待値(平均値)
の表記に合わせると,xは列ベクトルで
2   3    11
4   10   3
5とか,8とか,2
2   7    1
1   9    6
です。
期待値をとるE{}演算は,データ件数について加えて平均することになります。

期待値の操作を行列でやりたいとすると,

>No.1の行の平均をμ1, No.2の行の平均をμ2, No.3の行の平均をμ3とします。)
>[ 2-μ1 3-μ2 11-μ3 ]
>[ 4-μ1 10-μ2 3-μ3 ]
>[ 5-μ1 8-μ2 2-μ3 ]
>[ 2-μ1 7-μ2 1-μ3 ]
>[ 1-μ1 9-μ2 6-μ3 ]
はすこし違います。平均値は,
データ件数個つくるの(生徒毎の平均)ではなく,
変数次元個つくります(科目毎の平均)。

μ1=(2+3+11)/3 第1科目(英語?)の平均点
μ2=(4+10+3)/3 第2科目(国語?)の平均点
μ3=(5+8+2)/3 第3科目の平均点
μ4=(2+7+1)/3 第4科目の平均点
μ5=(1+9+6)/3 第5科目の平均点
とした上で,
[ 2-μ1 3-μ1 11-μ1 ]
[ 4-μ2 10-μ2 3-μ2 ]
[ 5-μ3 8-μ3 2-μ3 ]
[ 2-μ4 7-μ4 1-μ4 ]
[ 1-μ5 9-μ5 6-μ5 ]
すなわち,縦に科目番号,横に生徒の出席番号で並べた行列をつくり,これを左から
転置した行列を右から掛け算します。
結果として,変数次元×変数次元の正方行列ができ,その各要素はデータ件数分を平均した値です。

共分散行列のik成分をA_ikと書くと,
A_ik=(1/N)Σ[j=1 to N](xij-μi)(xkj-μk)
となります。Nはデータ件数,xijはj件目のデータにおける第i変数の値,
jはデータ件数を走る添え字,
i,kは変数次元を走る添え字で,μkは第k変数の平均値
を表します。
(例で言うと,Nは生徒の人数,jは出席番号,μ1は英語の平均点,μ2は国語の平均点etc)

>共分散行列 = E[(x-E[x])(x-E[x])^t] ^tは転置 Eは期待値(平均値)
の表記に合わせると,xは列ベクトルで
2   3    11
4   10   3
5とか,8とか,2
2   7  ...続きを読む

Q直交行列 回転行列 

直交行列はなぜ直交行列と呼ばれるのでしょうか?
直交行列の直交の意味を教えて下さい。

回転行列は直交行列の一つですが、なぜ直交行列
という名前がついているのか気になったので質問させて頂きました。

以上、ご回答よろしくお願い致します。

Aベストアンサー

直交行列の定義は

A X 'A = E ( 'は転置 E は単位行列)
又は
'A = inv(A) ( inv(A) は A の逆行列)

です。

直交行列では A が含む列ベクトルが互いに
直交し、大きさが全て 1 になります。
直交行列では A が含む行ベクトルが互いに
直交し、大きさが全て 1 になります。

直交しているだけではなく、ベクトルが正規化されている
ことに注意してください。

直交行列は、ベクトルの大きさとベクトル間の角度を
保存する変換を行う行列です。回転行列もそのひとつです。

Qベクトルについて ベクトルの一次独立 任意のp→(p→=pベクトル)はp→=sa→+tb→の形に、た

ベクトルについて
ベクトルの一次独立
任意のp→(p→=pベクトル)はp→=sa→+tb→の形に、ただ1通りに表される。
 ……など、ベクトルの一次独立の意味がいくら考えても分かりません

Aベストアンサー

一次独立は1個のベクトルでは意味が無く、2個以上のベクトルが有った場合の概念。

α,β,γ・・・・をベクトルとし、a,b,c・・・をスカラとした時
aα + bβ + cγ +・・・・=0を満たすa,b,c・・・の組がa=b=c=…=0に限られる場合、α,β,γ・・・・のベクトルの関係を一次独立と言う訳。

言い換えれば、どのベクトルも他のベクトルの和で表せないという意味。
例えば3次元空間で互いに直交する3個のベクトルは一次独立。

xy平面でx軸、y軸に重なるベクトルが2個有った場合、軸に重ならないベクトルは2個のベクトルの和で表せるから、一次従属。

下の図で、左側の赤ベクトルは互いに一次独立。
右の青ベクトルは互いに一次従属。

Q正規直交基底

(問題)
3つのベクトルa=(1,1,1,1) b=(1,-1,1,-1) c=(1,1,-1,-1)がある。(表記が違いますが、列ベクトルです)
1.a,b,cが互いに直交していることを示せ。
2.a,b,cの正規直交基底を求めよ。
3.a,bc,の全てに直交するベクトルを1つ求めよ。

というものなのですが。疑問点があるので答えて頂ければ幸いです。
1.の直交を示すことはそれぞれ内積a・b a・c b・cが0であることから示せます。(これは正しいと思います)
2.の正規直交基底なのですが、これは互いに直交しているため、それぞれの大きさを1になるように正規化すれば良く、複雑な計算は必要ないですよね?
また、問題は四次元のベクトルですが、3つだけで正規直交基底と言えるのですか?
R^4の正規直交基底と問題2が示す正規直交基底は別物ですか?
また、3で全てに直交するベクトルを1つ求めよとありますが、このベクトルを正規化すれば、
それらを全て合わせてR^4の正規直交基底ということでよろしいのですか?
ちなみに全てに直交するベクトルdは(1,-1,-1,1)となりました。

質問を煩雑に羅列してしまい申し訳ないですが解答よろしくおねがいします。

(問題)
3つのベクトルa=(1,1,1,1) b=(1,-1,1,-1) c=(1,1,-1,-1)がある。(表記が違いますが、列ベクトルです)
1.a,b,cが互いに直交していることを示せ。
2.a,b,cの正規直交基底を求めよ。
3.a,bc,の全てに直交するベクトルを1つ求めよ。

というものなのですが。疑問点があるので答えて頂ければ幸いです。
1.の直交を示すことはそれぞれ内積a・b a・c b・cが0であることから示せます。(これは正しいと思います)
2.の正規直交基底なのですが、これは互いに直交しているため、それぞれの大きさを1になるように...続きを読む

Aベストアンサー

>> 1.の直交を示すことはそれぞれ内積a・b a・c b・cが0であることから示せます。(これは正しいと思います)

それで正しいと思います。


>> 2.の正規直交基底なのですが、これは互いに直交しているため、それぞれの大きさを1になるように正規化すれば良く、複雑な計算は必要ないですよね?

これも正しいと思います。
そもそも問題文2「a,b,cの正規直交基底を求めよ。」というのはよくない表現と思います。「a,b,cで生成される部分空間の完全正規直交基底を1つ求めよ。」のような表現がよいと思います。それともシュミットの直交化をせよという意味だったのでしょうか?


>> また、問題は四次元のベクトルですが、3つだけで正規直交基底と言えるのですか?

この3つだけで、正規直交基底と言えると思います。
正規直交基底と言うのは数は関係しません。たとえば{(1/2, 1/2, 1/2, 1/2)}のように1つだけでも正規直交基底になりますし、{(1/2, 1/2, 1/2, 1/2), (1/2, -1/2, 1/2, -1/2)}のように2つでも正規直交基底になります。

>> R^4の正規直交基底と問題2が示す正規直交基底は別物ですか?

質問の意図がよく把握できないのですが、少し勘違いされているように思います。

(1)正規直交基底と言うのは、互いに直交していて、長さが1になるベクトルの組み合わせになっているものです。従って、そのようなベクトルの組み合わせはたくさんあります。「R^4の正規直交基底」も1つではありませんので、それが問題2のベクトルと同じかどうかという質問自体意味がないことになります。

(2)「R^4の正規直交基底」を
 {(1,0,0,0), (0,1,0,0), (0,0,1,0), (0,0,0,1)}
と考えられておられると思います。おそらくこの直交系は「基本直交基底」というような名前で呼ばれていると思います。それでしたら、問題2の基底とは異なります。

>> また、3で全てに直交するベクトルを1つ求めよとありますが、このベクトルを正規化すれば、
それらを全て合わせてR^4の正規直交基底ということでよろしいのですか?

それでよいと思います。
ただ「R^4の正規直交基底」は「R^4の完全正規直交基底」のことを言っておられるのではないでしょうか。完全正規直交系というのは、正規直交系がそのベクトル空間を生成できるものを言います。R^4の完全正規直交系は4つのベクトルが必要です。教科書等でご確認ください。

>> ちなみに全てに直交するベクトルdは(1,-1,-1,1)となりました。

実際にa, b, c それぞれと内積を計算すればa, b, c と直交していることが分かりますので、それでよいとも思います。

以上、拙い説明ではありますが不明点等がありましたらまたご連絡ください。

>> 1.の直交を示すことはそれぞれ内積a・b a・c b・cが0であることから示せます。(これは正しいと思います)

それで正しいと思います。


>> 2.の正規直交基底なのですが、これは互いに直交しているため、それぞれの大きさを1になるように正規化すれば良く、複雑な計算は必要ないですよね?

これも正しいと思います。
そもそも問題文2「a,b,cの正規直交基底を求めよ。」というのはよくない表現と思います。「a,b,cで生成される部分空間の完全正規直交基底を1つ求めよ。」のような表現がよいと思います。それと...続きを読む

Q4次元のベクトルpとqに対して、|p|*|q|*sinθはどのようにかける?

2次元のベクトルp=(a,b)とベクトルq=(x,y)に対して、
なす角をθとすると、
|p|*|q|*cosθ=ax+by,
|p|*|q|*sinθ=±(ay-bx)
となります。

4次元のベクトルp=(a,b,c,d)とベクトルq=(x,y,z,w)に対しては、そのなす角θというものが、
|p|*|q|*cosθ=ax+by+cz+dw
で定義されますが、このとき、
|p|*|q|*sinθ
は成分を用いてどのようにかけるのでしょうか?

Aベストアンサー

n次元ベクトルに対して外積はm=Combination(n,2)次元空間のベクトルになります。
n次元ベクトルの直交基底ei(i=1,2,...,n)に対して、ei×ej=-ej×eiを直交基底にとります。
すると、成分表示すればたすき掛けが成分として出てきて、双線型性をもった「積」(m次元ベクトル)が定義できます。
u、vをn次元ベクトルとして、u×vはもとの空間の基底の取り方にはよらない(本当か?)ので
直交写像Tによっても外積はかわらないので
|u×v|=|(Tu)×(Tv)|
さらに、u,vの張る平面がe1,e2の平面と一致するようにTをとると、2次元の場合に帰着できて
|u×v| = |(Tu)×(Tv)| = |Tu||Tv|sinθ
となります。さらに
|Tu|=|u|, |Tv|=|v|
なので、
|u×v| = |(Tu)×(Tv)| = |Tu||Tv|sinθ = |u||v|sinθ
が成り立ちます。よって、
|u×v|^2=Σ(aibj-ajbi)^2 = |u|^2 |v|^2 (sinθ)^2
です。(本当か?)

n次元ベクトルに対して外積はm=Combination(n,2)次元空間のベクトルになります。
n次元ベクトルの直交基底ei(i=1,2,...,n)に対して、ei×ej=-ej×eiを直交基底にとります。
すると、成分表示すればたすき掛けが成分として出てきて、双線型性をもった「積」(m次元ベクトル)が定義できます。
u、vをn次元ベクトルとして、u×vはもとの空間の基底の取り方にはよらない(本当か?)ので
直交写像Tによっても外積はかわらないので
|u×v|=|(Tu)×(Tv)|
さらに、u,vの張る平面がe1,e2の平面と一致するようにTをとると...続きを読む


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