３次関数のグラフの接線の範囲の問題

「関数f(x)=x^3-3x^2+3に対して、xy平面上の曲線y=f(x)をCとする。
このとき、点Q(-3,k)からCに異なる３本の接線が引けるようなkの範囲を求めよ。」
という問題なのですが、
まず、(t,t^3-3t^2+3)における接線の方程式、
y=(3t^2-6t)x-2t^3+3t^2+3と求めました。
そして、そこに、問題の(-3,k)を代入して
k=-2t^3-6t^2+18t+3
とし、この３次関数を解けばkの値がでると思ったのですが、
うまい具合に行きません。
何か、間違いがあるのかもしれません。
どなたかアドバイスお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： debut 回答日時： 2006/01/29 03:47

説明のために最後の式を -2t^3-6t^2+18t+3-k=0 とすると、条件に合うよ

うにするには、このｔが異なる３つの実数解を持たなければなりません。

で、もとの　k=-2t^3-6t^2+18t+3　にもどすと、上のことは
　f(t)=-2t^3-6t^2+18t+3 と　f(t)=k のグラフが３点で交わるという
ことと同じことになり（∵式　k=-2t^3-6t^2+18t+3　は直線 f(t)=k と
曲線 f(t)=-2t^3-6t^2+18t+3 の交点のｔ座標を求める式と同じこと）、
後は両方のグラフをかいて直線 f(t)=k が曲線と３点で交わる範囲を求め
ればいいです。

この回答へのお礼

k=-2t^3-6t^2+18t+3を二つに分裂できることに気づきませんでした。
どうもありがとうございました！

お礼日時：2006/01/29 12:24

No.2 回答者： oyaoya65 回答日時： 2006/01/29 11:56

A#1さんの回答の考え方でよいですね。

つまり
y=f(t)=-2t^3-6t^2+18t+3
の極小値a,極大値bを求めれば
求めるkの範囲は
a＜k＜b
となりますね。
　
なお、極小値、極大値を与えるtの値は
f'(t)=0から求まることはご存知ですね。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
おかげさまで答えを出すことができました♪

お礼日時：2006/01/29 12:24