数列の漸化式の問題（解答）で二問わからない部分があります

毎度毎度ありがたいほど詳しい回答ありがとうございます！！数IIにはいるとなんか難しいのが多くて
こまります。またよくわからない式変形がでてきました・・・助けてほしいです。

(1)問目なんですが・・・
1/1. 2/2. 3/2. 4/3. 5/3. 6/3. 7/4. 8/4. 9/4. 10/4. 11/5・・・・
の分数の列について

問：初項から第２１０項までの分数の和を求めなさい

回答の最初が・・・
第２１０項の分母をnとすると分母がnである分数のうちで分子について最小のものは
1+2+・・・+(n-1)=1/2・n(n-1)+1=(n^2 -n+2)/2
最大のものは
1+2+・・・+n=1/2・n（n+1）=(n^2 +n)/2

これって分子の数列なんですよね・・・？？
なんで数列の最後が分母のnを用いて
n-1とかnなんでしょうか・・・わかりません。
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(2)問目です。(a_1は数列anの第一項目という意味）
a_1=1 a_n+1=(a_n -9)/(a_n -5) <n=1.2.3.・・>
で定められる数列{a_n}がある。

問：b_n=1/(a_n -3)とおくとき
b_n+1 をb_nであらわせ

解答が
a_n+1 -3=(a_n -9)/(a_n -5)-3
から、a_n+1 -3＝-2(a_n -3)/(a_n -5)
前の問題ではn≠3とでていたので
この両辺の逆数をとると・・
1/(a_n+1 -3)=-1/2・(a_n -3)/(a_n -5)
=-1/2 + 1/(a_n-3)

となっております。
なんで-1/2の掛け算がいきなり足し算になってるのでしょうか・・。色々思考してみましたが
納得がいきません。
もうすぐ塾でもテストなので至急アドバイス待ってます！！

No.4 回答者： tarame 回答日時： 2006/01/30 10:45

続いて、２問目ですが

両辺の逆数をとると…
1/(a_n+1－3)＝(-1/2)・(a_n－5)/(a_n－3)　となりますね！
＞なんで-1/2の掛け算がいきなり足し算になってるのでしょうか
なるほど、いきなりですね！
(-1/2)・(a_n－5)/(a_n－3)＝(-1/2)・(a_n－3－2)/(a_n－3)
＝(-1/2)・{1－2/(a_n－3)}と式変形する部分が省いてありますね！

No.3 ベストアンサー 回答者： tarame 回答日時： 2006/01/30 09:26

１問目ですが

分母がｋの分数はｋ個あるので、分母がｋの分数までの項数は
1+2+3+…+k＝k(k+1)/2 個です！
分母がｎの分数の分子が最小の項は、分母が(n-1)の分数の次ですから
最初から数えて　1+2+3+…+(n-1)+1 番目となります。
分母がｎの分数の分子が最大の項は、分母がｎの分数の最後の項ですから
最初から数えて　1+2+3+…+n 番目となります。
この数字は、分子の数列ではありません。

No.2 回答者： kony0 回答日時： 2006/01/30 02:21

(1)は、キーワードは「群数列」です。

つまり、分母がｎのものがｎ個並んでいるので、それらをブロックにして考える・・・という問題です。
＃１さんもおっしゃられているとおり、「分母がnである分数のうちで分子について最小のものは」の次の式の「＋１」が抜けてますね。（１つめの等号以降ではそれが補われている・・・？）

No.1 回答者： sak_sak 回答日時： 2006/01/30 01:47

＞1+2+・・・+(n-1)=1/2・n(n-1)+1=(n^2 -n+2)/2

の左辺ですが、(n-1)で終わりじゃなくて、(n-1)+1だと思います。
n=4として読みかえてみましょう。
分母が4である分数のうちで分子について最小のものは7ですが、1+2+3+1=7なわけです。
分母が4である分数のうちで分子について最大のものは10ですが、1+2+3+4=10なわけです。

＞=-1/2 + 1/(a_n-3)
ですが、分母は(a_n-3)で合ってますか?

それから、コンマ(,)と小数点(.)の区別はちゃんとしてください。