R^3の座標として(ⅹ,y,z)と(ⅹ’、y’、z’)があったとし、
両者の間の関係が行列Uを使って

(ⅹ’、y’、z’)=U^t(ⅹ,y,z)

と表されるとする。このとき、

∇1=t(∂/∂ⅹ,∂/∂y,∂/∂z)
∇2=t(∂/∂ⅹ’,∂/∂y’,∂/∂z’)

の間の関係式を求めよ。

という問題なのですが解答の糸口が見つかりません。
どなたかお願いします。

A 回答 (1件)

x',y',z'を変数にもつ実数値可微分関数f(x',y',z')に微分作用素∂/∂xを作用させて見ましょう。

x',y',z'をそれぞれxの関数と思って、合成関数の微分法により、
∂f/∂x = (∂f/∂x')(∂x'/∂x)+(∂f/∂y')(∂y'/∂x)+(∂f/∂z')(∂z'/∂x)
が得られます。ここで、行列Uの成分u(i,j)を使って、与えられた関係式より,
 x'=u(1,1)x+u(1,2)y+u(1,3)z,
y'=u(2,1)x+u(2,2)y+u(2,3)z,
z'=u(3,1)x+u(3,2)y+u(3,3)z
なので、
 ∂x'/∂x=u(1,1), ∂y'/∂x=u(2,1), ∂x'/∂x=u(3,1)
となります。したがって、
∂f/∂x = (∂f/∂x')(∂x'/∂x)+(∂f/∂y')(∂y'/∂x)+(∂f/∂z')(∂z'/∂x)
= (∂f/∂x')u(1,1)+(∂f/∂y')u(2,1)+(∂f/∂z')u(3,1)
= u(1,1)(∂f/∂x')+u(2,1)(∂f/∂y')+u(3,1)(∂f/∂z')
となります。ここで、両辺においてfだけ右に抜き出して,
(∂/∂x)f = {u(1,1)(∂/∂x')+u(2,1)(∂/∂y')+u(3,1)(∂/∂z')}f
を得ます。fは任意の可微分関数だから、微分作用素として次の等式が成り立つ:
∂/∂x = u(1,1)(∂/∂x')+u(2,1)(∂/∂y')+u(3,1)(∂/∂z')
同様にして,
∂/∂y = u(1,2)(∂/∂x')+u(2,2)(∂/∂y')+u(3,2)(∂/∂z')
∂/∂z = u(1,3)(∂/∂x')+u(2,3)(∂/∂y')+u(3,3)(∂/∂z')
が成り立つことが示せる。これをまとめて書くと,
t(∂/∂x,∂/∂y,∂/∂z)=U^t(∂/∂x',∂/∂y',∂/∂z')
となる。さらに与えられた記号を用いれば,次のように書ける。
∇1=U^∇2
これが求める関係式です。個人的には、∇1→∇、∇2→∇'と置き換えた方が
覚えるときに覚えやすいと思う。教育的配慮がたらん!っと言ってこんなところで怒っても仕方ないけど…。

「すぐに回答がほしい」ということですが、間に合ったかな?
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この回答へのお礼

ありがとうございました!ぎりぎりセーフです。

教育的配慮ですか・・・。
先生によってそうゆう事はまちまちですから、
先生を選べない生徒にとってはその先生についていくしかないですからね。
何はともあれ本当にありがとうございました。

お礼日時:2002/01/11 01:08

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