関数f(x,y)を  ∂^2f/∂x^2 + ∂^2f/∂y^2 = 0
を満たす関数とする。円Cを点(a,b)を中心とした半径rの円とするとき
f(a,b) = 1/(2π)∫{0~2π}f(a+rcosθ,b+rsinθ)dθ
が成立することを証明しなさい
…という問題なのですがどうやっていいものか悩んでいます。
できれば詳しく回答してくれると大変助かります。
よろしくお願いします。

A 回答 (2件)

Cの周りにおいてはz-α=r・exp(i・θ)とおけるから


dz=i・r・exp(i・θ)・dθ=i・(z-α)・dθ
であるから
g(α)=1/(2・π)・∫(0~2・π)dθ・g(α+r・exp(i・θ))
両式の実部をとれば
f(a,b)=1/(2・π)・∫(0~2・π)dθ・f(a+r・cosθ,b+r・sinθ)
となる
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命題:Dが単連結開集合であればDで調和な実関数fはDで正則な関数gの実部に等しい


というのがあるみたいですよ
だとしたら問題の式はコーシーの積分表示式の
g(α)=1/(2・π・i)・∫(|z-α|=r)dz・g(z)/(z-α)
の実部ではないでしょうか?
ただし
α=a+i・b
z=x+i・y
real(g(z))=f(x,y)
∫(|z-α|=r)dzは左回りの線積分
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