左右の定義

数学では、右や左を定義しているのでしょうか？
知人に、右とか左とかいうけど、定義はどうなってるのか、と聞かれて、答えられませんでした。
そこで、インターネットで検索してみたら、Wikipedia
に、「時計の文字盤で1時から5時の文字の書いてある方が右」という定義と、「東西南北の東の方が右」という定義が載っていました。
しかし、私は「時計の文字盤」の文字を右回りに書くには、どちらが右か、あらかじめ知っていなければ、ならないような気がしますし、「東西南北」の東を決めるには、北を上に、南を下にしたとき、「右側が東」と言わなければならない、と思います。
もっと、基礎的な定義は、あるのでしょうか？

No.1 回答者： noname#25799 回答日時： 2006/02/03 12:58

面白そうなので根拠なしの思いつきを書かせていただきますね。

数学を専門としていないので全然でたらめかも知れませんのでご容赦を。
数学って歴史的に「対称性」を重んじる学問だと思います。つまり世界がどんなに対称的にできているかを証明するのが少なくともかつて目的で、数学的には左右の定義は必要なかったかそれを隠すようになっていたのではないかと思うのです。
左右は非常に現実的な問題で、あると便利なのでどんな言葉でも右と左は定義されていると思います。それがWikipediaの定義ではないかと思います。
実際には物理学的にも生物学的にも左右の非対称が証明されています。卑近な例では人では右利きが多いというのもそうでしょうし、もう少し学問的には（？）例えばパリティの破れとか海馬神経回路の左右差とか耳に挟んだこともあるのではないかと思います。かといって、これが定義かというとむしろ逆で、左右という概念（定義）が先行して現実と照らし合わせて左右を説明するという作業のような気がします。

この回答へのお礼

早速の回答ありがとうございます。
そういえば、数学は対称性を大切にしますね。物理もそういうところがありますねー。とすると、たとえば、xy座標のx軸のプラスの方向が「右」と言う定義は、どうでしょう。しかし、これも、x軸の右側をプラスとする、としたのでしょうから、だめですねー。とすると、ある日突然、全世界の左右が逆になっても、数学の理論は、全く訂正する必要がないということかなー。

お礼日時：2006/02/03 14:13

No.2 回答者： Mathematica 回答日時： 2006/02/03 14:22

私も聞いたことがありませんが、おそらく定義していないと思います。

理由は、必要がないからです。現在の数学は、「公理系」ですから、現実とは、関係がありません。

この回答へのお礼

早速のご回答ありがとうございました。
数学では必要ないとすると、スレ違いだったのでしょう。さて、どこで質問したらよいものか。物理かなー。

お礼日時：2006/02/03 14:27

No.3 回答者： graphaffine 回答日時： 2006/02/03 16:33

向きに関する質問と解釈します。

向きが定まれば、その一方を右と呼ぶか或いは左と呼ぶかは好みの問題ですから。

数学的（より正確には、位相幾何学的）には、位相多様体Ｍ（図形の一般化と思ってください)に対し、Ｍ上の局所係数群が単純である場合、Ｍは向き付け可能と言う。向き付け可能ならば、二つの標準断面s,-sが定まり、その一方をＭの向き、他方をその逆の向きと言う。

向き付け可能な例は、球面、不能な例は、射影空間が有名です。

なお、#1の補足ですが、
＞たとえば、xy座標のx軸のプラスの方向が「右」と言う定義は、どうでしょう。

これはご明察の通りで、それを高度に抽象化したのが、
上記の内容です。

この回答へのお礼

ご返事大変ありがとうございます。今、位相幾何学の本を引っ張り出して、確かに、向き、向き付け可能、不可能という用語があることを、確認しました。メビウスの帯やクライン管も、向き付け不可能とか。そういえば、射影空間とメビウスの帯の深い関係を、かつて、先生に教わったような気がいたします。高度に抽象的な向きと、実生活の向き。この間のギャップを埋めるのは、私には、とても難しそうであります。ありがとうございました。

お礼日時：2006/02/03 17:29

No.4 回答者： proto 回答日時： 2006/02/03 18:41

いわゆる未定義述語だと思います。

自分から見て右手の方向が右、とか
左の逆が右、とか
『右』に関する事柄から間接的にしか定義されないのです。

数学では未定義述語はたくさん出てきます
『上』『直線』『点』『大小関係』
など、これらは確か未定義述語だったと思います。
たとえば『直線』を『真っ直ぐな線』と定義しても、
では『真っ直ぐ』の定義は？となってキリがありません。

では、いつまでも曖昧なままかというとそうではありません。
たとえば三角形の定義は「三本の直線で囲まれた図形」です。
逆にこのことから「三角形の辺みたいなやつが直線だな」とわかります。

まぁ、そんなものかなと理解できればそれが定義に代わるものってことですかね。

この回答への補足

ご返事ありがとうございました。「未定義述語」について、さらにインターネットで検索したところ、「無定義用語」という用語がみつかりました。たとえば、Wikipediaでは、集合論では、「集合」が無定義用語で、二つの集合の包含関係を表す式は、無定義述語だそうです。「無定義用語」で検索すると、さらにいろいろなサイトが見つかりました。たとえば「青塚数学教室」には、無定義用語が数学の適用範囲を広げる役割、についての記述もありました。

補足日時：2006/02/05 09:12

この回答へのお礼

ご返事大変ありがとうございます。
「未定義述語」と伺ったので、早速インターネットで検索してみましたが、「無定義述語」、「未定義概念」と言う言葉もありました。Wikipediaでは、現代数学では、点、直線は、無定義述語だそうです。そういえば、たしか、点と直線を入れ替えても、成り立つ数学がありましたね。同様に、右と左を入れ替えても、困らない数学があるのかも知れません。私たちは、たとえば、「箸を持つ方の手」というようなことがらから、間接的に、定義しているのでしょう。「右の手で箸を持つ」と「箸を持つ手が右手」と両方が同時に成り立っている感じです。「無定義述語は循環参照」と言ったら、叱られそうですね。

お礼日時：2006/02/03 19:57

No.5 回答者： ryn 回答日時： 2006/02/04 00:36

質問者さんが求めている答えは物理にあるかもしれません．

これを説明する方法としては
コバルト60のベータ崩壊を使うというものが挙げられます．
参考URLの左側の絵を見てください．

ただ単にコバルト60が自転しているだけだと
それを右回りか左回りかは決める事は出来ないですが，
コバルト60は自転しつつ電子を放出します．
その放出される方向に偏りがあるので
「電子がよく飛び出る方から見て
コバルト60の自転している向き」
のように説明することが出来ます．

質問者さんが興味を持って読めるような本として
「自然界における左と右」マーティン=ガードナー著
http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/tg/detail/-/ …
を挙げておきます．

参考URL：http://plato.stanford.edu/entries/physics-experi …

この回答への補足

ご回答大変ありがとうございました。
ご回答も、そろそろ、出尽くしたかと、思われるので、これで締め切らせていただきます。どなたの回答も、みな、それぞれ、大変参考になりました。どの回答も最高の良回答だったと思いますので、すべての回答を、良回答にしたいのですが、それはかないません。一部の回答だけに点数はつけられません。すみませんが、今回は、点数をつけずに、締め切らせていただきます。

補足日時：2006/02/05 09:23

この回答へのお礼

教えていただいてありがとうございます。
教えていただいたURLの図からみると「コバルト60の自転している向き」が右です。
現在、時刻の定義も、メートルの定義も、原子や光子を基準に決めている時代ですから、左右についても、そろそろ、コバルト60を基準に考えても良いのではないかと思います。左右の区別ができるかどうかは、数学で、どちらが「右」かは、自然現象を基準に決めるしか、ないようですね。面白そうな本を、教えていただいて、ありがとうございました。昨夜、「はたして神は左利きか」を買ってしまいましたが、教えていただいた「自然界における左と右」も、読もうと思います。ありがとうございました。

お礼日時：2006/02/04 07:59