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「2辺と1角が等しい」というだけでは三角形は合同だとはいえませんが(下記URL参照)、
AB=A'B'、AC=A'C'、∠B=∠B'に「AB<AC」という条件を加えると合同だと言えるでしょうか?
「AB<AC」という条件が加わると、下記URLのような状況は生まれそうもないので、合同だと言えるのではないかという気がしますが、確証が持てません。
もし、一般的に証明できるなら、どのように証明したらよいかも教えていただけると幸いです。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%94%BB%E5%83%8F: …

なお、これは課題やレポートではありません(念のため)。

A 回答 (4件)

図形的に考えると,ほとんど明らかに「合同だ」と言えそうですね.


No.2さんの説明で,よいのではないでしょうか.
(なお,No.1さんの「対称図形」も合同にはなっています.)

では,「一般的に厳密に証明しよう」と考えると,例えば「第1,第2余弦定理」を使って,

[証明]
(AB=A'B',AC=A'C',∠B=∠B' を仮定し,
  AB=c, BC=a, CA=b
  A'B'=c',B'C'=a',C'A'=b'
と表すことにします.すると,
  c=c',b=b',∠B=∠B'   (1)
が成り立っている訳です.

すると,まず「(第2)余弦定理」より,
  b = a^2 + c^2 - 2ac ・cosB    (2)
  b'= a'^2 + c'^2 - 2a'c'・cosB'   (3)
ここで,(3) に条件(1) を代入すると,
  b = a'^2 + c^2 - 2a'c ・cosB   (4)
だから,(2)=(4) より,
  a^2 + c^2 - 2ac・cosB = a'^2 + c^2 - 2a'c・cosB

これを整理整頓すると,
  (a^2 - a'^2)- 2c・cosB(a-a')= 0
さらに左のカッコの中を因数分解して,
  (a+a')(a-a')- 2c・cosB(a-a')= 0
だから,結局,
  (a-a')(a+a'-2c・cosB)= 0  (5)
と因数分解されます.

ここで,今度は「第1余弦定理」より,
  a = b・cosC + c・cosB
  a'= b'・cocC' + c'・cosB'
ですが,仮定(1) より,
  a'= b・cosC' + c・cosB
となるので,(5) の式に関して,
  a+a'-2c・cosB =(b・cosC+c・cosB)+(b・cosC'+c・cosB)-2c・cosB
             = b・cosC + b・cosC'
             = b(cosC+cosC')
これを(5) に代入すると,
  (a-a')b(cosC+cosC')= 0  (6)

ここで,b≠0 だから,
質問者さんが指摘したAB<AC(つまり,c<b) の条件がないと,
  cosC+cosC' = 0
の場合があるので,(つまり,C' =180゜-C のとき)
  a-a' = 0
が言えない,つまり,
  a=a'
が言えないので,合同とは言えない訳です.

ところが,今,新たにAB<AC(つまり,c<b) の条件があると,
  ∠C < ∠B   (7)
となるので,(これも1つの定理ですね.)
  ∠C=(鋭角)   (8)
となります.
(なぜなら,∠Cが直角か鈍角だと,(7)より,∠Bが鈍角にならないといけなくなり,
三角形の内角の和が180°を超えてしまうからです.)

また,新たな条件AB<AC(つまり,c<b) の条件があると,もちろん仮定(1) より,
  A'B'<A'C'(つまり,c'<b')
なので,
  ∠C' < ∠B'
となるので,(8) のときと同様にして,
  ∠C'=(鋭角)   (9)
となります.

すると,(8),(9) より,
  cosC > 0
  cosC'> 0
だから,
  cosC+cosC' ≠ 0
となります.

そうすると,(6) で,
  b≠0
  cosC+cosC' ≠ 0
だから,結局,
  a-a' = 0
すなわち,
  a=a'
となり,2つの三角形の合同が言えます.[証明終]

・・・ややこしくて,あまりすっきりしてませんね.
やはり,図形的に証明した方が解りやすいでしょう.
お騒がせしました!
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合同だと思います。


図形的な証明ですが…

2次元のグラフにおいて
ABをA=原点となるようにx軸と重ねると、
Cとなりうる点の集合は半径ACの円となります。
ここでB基点の半直線を考えると、
AB<ACであれば、Bは円の内部にあることになり、
半直線Bの傾き(∠B)が決まれば、
半直線Bと半径ACの円の共有点Cは唯一ひとつに決まると思います。
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合同だと言えると思います。


ULTにあるようにABとA'B'は固定して考えてみましょう。
「AB<AC」ということは、二つ目の図のように点A'から同じ距離の点C'を線BC上にとろうとすると、点B'より左になってしまいます。この場合、必ずしも、「∠B=∠B'」を満たしません。∠B=∠B'=90度の時なら満たすことができます。その場合、直角三角形の合同条件で三角形ABCと三角形A'B'C'の合同は証明されます。(∠B=∠B'=90度 AB=A'B' AC=A'C')
つまりこのことから[AB=A'B'、AC=A'C'、∠B=∠B'に「AB<AC」]を満たす二つの三角形は直角三角形に必ずなります。
あまり自身がないので間違っていたら遠慮なくご指摘ください。
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合同とは言えない場合があると思います。



頂点Aと頂点A'が同じ点で、頂点Bと頂点B'も同じ点だとしましょう。

辺AB(辺A'B'と同一ですね)について線対称の位置に頂点Cと頂点C'があれば
AB=A'B'、AC=A'C'、∠B=∠B'、AB<AC は満たしても
△ABCと△A'B'C'は合同ではなく、対称図形となります。
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