「2辺と1角が等しい」というだけでは三角形は合同だとはいえませんが(下記URL参照)、
AB=A'B'、AC=A'C'、∠B=∠B'に「AB<AC」という条件を加えると合同だと言えるでしょうか?
「AB<AC」という条件が加わると、下記URLのような状況は生まれそうもないので、合同だと言えるのではないかという気がしますが、確証が持てません。
もし、一般的に証明できるなら、どのように証明したらよいかも教えていただけると幸いです。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%94%BB%E5%83%8F: …
なお、これは課題やレポートではありません(念のため)。
No.3ベストアンサー
- 回答日時:
図形的に考えると,ほとんど明らかに「合同だ」と言えそうですね.
No.2さんの説明で,よいのではないでしょうか.
(なお,No.1さんの「対称図形」も合同にはなっています.)
では,「一般的に厳密に証明しよう」と考えると,例えば「第1,第2余弦定理」を使って,
[証明]
(AB=A'B',AC=A'C',∠B=∠B' を仮定し,
AB=c, BC=a, CA=b
A'B'=c',B'C'=a',C'A'=b'
と表すことにします.すると,
c=c',b=b',∠B=∠B' (1)
が成り立っている訳です.
すると,まず「(第2)余弦定理」より,
b = a^2 + c^2 - 2ac ・cosB (2)
b'= a'^2 + c'^2 - 2a'c'・cosB' (3)
ここで,(3) に条件(1) を代入すると,
b = a'^2 + c^2 - 2a'c ・cosB (4)
だから,(2)=(4) より,
a^2 + c^2 - 2ac・cosB = a'^2 + c^2 - 2a'c・cosB
これを整理整頓すると,
(a^2 - a'^2)- 2c・cosB(a-a')= 0
さらに左のカッコの中を因数分解して,
(a+a')(a-a')- 2c・cosB(a-a')= 0
だから,結局,
(a-a')(a+a'-2c・cosB)= 0 (5)
と因数分解されます.
ここで,今度は「第1余弦定理」より,
a = b・cosC + c・cosB
a'= b'・cocC' + c'・cosB'
ですが,仮定(1) より,
a'= b・cosC' + c・cosB
となるので,(5) の式に関して,
a+a'-2c・cosB =(b・cosC+c・cosB)+(b・cosC'+c・cosB)-2c・cosB
= b・cosC + b・cosC'
= b(cosC+cosC')
これを(5) に代入すると,
(a-a')b(cosC+cosC')= 0 (6)
ここで,b≠0 だから,
質問者さんが指摘したAB<AC(つまり,c<b) の条件がないと,
cosC+cosC' = 0
の場合があるので,(つまり,C' =180゜-C のとき)
a-a' = 0
が言えない,つまり,
a=a'
が言えないので,合同とは言えない訳です.
ところが,今,新たにAB<AC(つまり,c<b) の条件があると,
∠C < ∠B (7)
となるので,(これも1つの定理ですね.)
∠C=(鋭角) (8)
となります.
(なぜなら,∠Cが直角か鈍角だと,(7)より,∠Bが鈍角にならないといけなくなり,
三角形の内角の和が180°を超えてしまうからです.)
また,新たな条件AB<AC(つまり,c<b) の条件があると,もちろん仮定(1) より,
A'B'<A'C'(つまり,c'<b')
なので,
∠C' < ∠B'
となるので,(8) のときと同様にして,
∠C'=(鋭角) (9)
となります.
すると,(8),(9) より,
cosC > 0
cosC'> 0
だから,
cosC+cosC' ≠ 0
となります.
そうすると,(6) で,
b≠0
cosC+cosC' ≠ 0
だから,結局,
a-a' = 0
すなわち,
a=a'
となり,2つの三角形の合同が言えます.[証明終]
・・・ややこしくて,あまりすっきりしてませんね.
やはり,図形的に証明した方が解りやすいでしょう.
お騒がせしました!
No.4
- 回答日時:
合同だと思います。
図形的な証明ですが…
2次元のグラフにおいて
ABをA=原点となるようにx軸と重ねると、
Cとなりうる点の集合は半径ACの円となります。
ここでB基点の半直線を考えると、
AB<ACであれば、Bは円の内部にあることになり、
半直線Bの傾き(∠B)が決まれば、
半直線Bと半径ACの円の共有点Cは唯一ひとつに決まると思います。
No.2
- 回答日時:
合同だと言えると思います。
ULTにあるようにABとA'B'は固定して考えてみましょう。
「AB<AC」ということは、二つ目の図のように点A'から同じ距離の点C'を線BC上にとろうとすると、点B'より左になってしまいます。この場合、必ずしも、「∠B=∠B'」を満たしません。∠B=∠B'=90度の時なら満たすことができます。その場合、直角三角形の合同条件で三角形ABCと三角形A'B'C'の合同は証明されます。(∠B=∠B'=90度 AB=A'B' AC=A'C')
つまりこのことから[AB=A'B'、AC=A'C'、∠B=∠B'に「AB<AC」]を満たす二つの三角形は直角三角形に必ずなります。
あまり自身がないので間違っていたら遠慮なくご指摘ください。
No.1
- 回答日時:
合同とは言えない場合があると思います。
頂点Aと頂点A'が同じ点で、頂点Bと頂点B'も同じ点だとしましょう。
辺AB(辺A'B'と同一ですね)について線対称の位置に頂点Cと頂点C'があれば
AB=A'B'、AC=A'C'、∠B=∠B'、AB<AC は満たしても
△ABCと△A'B'C'は合同ではなく、対称図形となります。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 政治 「このクソッタレが!」名古屋の高級焼肉店個室で“人糞”放置事件が発生 3 2022/05/30 18:30
- 船舶・クルーズ Windows10のエクスプローラにて。 1 2022/10/10 20:11
- 歴史学 ロシアの謎の文字”Z”とは?「非常に縁起の良い言葉」……ウクライナはZ旗を掲げたらどうかな? 2 2022/03/26 06:53
- 政治 福島の処理水について中国や韓国がいちゃもんをつけてくる問題って…… 9 2023/07/11 17:18
- 俳優・女優 真木よう子「日本人という事実が恥ずかしい」…… これから日本での露出や仕事は減るかな? 4 2022/11/18 19:35
- Wi-Fi・無線LAN パソコンの初期設定で分からないことがあります。 4 2022/10/27 21:09
- その他(ネットショッピング・通販・ECサイト) 骨伝導ヘッドセットで この二つは値段が違うだけでは同じですか? 1 2023/02/13 19:13
- 政治 東京都知事が自民候補応援で和歌山入り「何とかして勝ってもらう」 ……二階さんの悔しがる顔を見たい 1 2023/04/22 13:25
- 確定申告 ICカードリーダー 確定申告 医療費 家族で10万超えると思います おすすめありますか? 5 2022/03/29 07:23
- 政治 橋下徹氏「まずは国会議員から取り上げろ」……この人、たまに良いこと言いますね? 5 2023/01/07 15:14
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
Aに直線3本で三角形7個
-
京都大学で出題された次の問題...
-
正八角形の三個の頂点を結んで...
-
Wordで三角柱を作成したいので...
-
数学Aについて質問です。 1. 正...
-
正八角形についてです。 3個の...
-
エクセルで文書の改訂記号を作...
-
垂心はなぜHで表すのか?
-
クイズです
-
三角形折りの卓上札に両面印刷...
-
台形の高さを知りたいです
-
スマホでこの画像の4G左側にあ...
-
正八角形で・・・・
-
ヘロンの公式って、3辺が整数で...
-
三角形ABCと三角形DEFの重心は...
-
(x+y)10乗の係数を教えて...
-
高校教科書の問題
-
三角形の相似(修正3)
-
複素平面上の三角形の相似について
-
三角形の合同条件
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
数学Aについて質問です。 1. 正...
-
三角形折りの卓上札に両面印刷...
-
エクセルで文書の改訂記号を作...
-
スマホでこの画像の4G左側にあ...
-
勉強は
-
台形の高さを知りたいです
-
合同と=の違い
-
正八角形で・・・・
-
Wordで三角柱を作成したいので...
-
三角形ABCと三角形DEFの重心は...
-
垂心はなぜHで表すのか?
-
高校教科書の問題
-
正八角形の三個の頂点を結んで...
-
手の甲の三つの点のような刺青
-
正八角形についてです。 3個の...
-
底辺が共通な2つの三角形の角...
-
ヘロンの公式って、3辺が整数で...
-
複素平面上の三角形の相似について
-
(x+y)10乗の係数を教えて...
-
四角形の重心の求め方の定義名
おすすめ情報