5次以上の代数方程式には一般解の公式は存在しませんが存在しないという事を証明するのは実際に解を求めるという事に比べどういう点が困難があると思われますか
どうしても分からなくて困っているので
皆様のお力を貸してください。
よろしくお願いしますm(_ _)m

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A 回答 (2件)

 


  「ないことの証明」というのは、一般に、「あることの証明」よりも難しいのです。あることの証明は、一例でも、「ある」という例を示すと証明になりますが、「ないことの証明」は、何人の数学者が、五次方程式の一般代数解の公式の確定に失敗しても、証明にはならないのです。未だ、見つかっていない公式があるのかも知れない……と考えられるからです。
 
  それに対し、五次方程式の解を求めることは、それほど難しいことではありません。おそらく、無限級数の形で表現でき、それ故、近似解を数値計算で、非常に高度な精度において計算できるのです。この場合、無限級数で解が表現できるということは、解は求まっているということです。代数的手順で解を求めることにはなっていませんが、解析数学的に解は求まるのです。
 
  代数的解と無限級数の解では、何か違いがあるように感じられますが、実は、代数解でも、√2 などは、小数で表現しようとすると、近似解にしかなりません。それと同様に、無限級数解も、その解を具体的な数字で表現しようとすると、近似解にしかならないので、一方は、無理数の形で、他方は、無限級数の形で、解が出ているのです。
 
  五次方程式の代数的一般解が存在しないことの証明は、先に述べたように、公式を造ろうとして、幾度も失敗し、成功しなかったという経験的事実からは出てきません。これは経験から、解の公式があるだろうという憶測があるので、試みるので、「公式がある」という証明は実は、元々なかったのです。そういう証明があれば、「公式はない」という証明は成立しないはずでしょう。
 
  「公式があるかないか」という問題はどうやって決定できるのか。代数学のなかでは、それは決定できなかったのです。解析学のなかでも決定できなかったのです。従って、解を求めるという問題が、無限級数の形で、解析学のなかで可能であったのと違い、何か、解析学とは違う数学の理論、それも未知の理論が必要なことになります。
 
  これについて、そのような数学は、「群論」であると、アーベルやガロワは考え、ガロワは、理論を具体的に構成したのです。
 
  ガロワの証明は、解析学の証明ではなく、数一般が、ある類に分かれるという構想で、四則演算と、巾計算、その逆計算というような、演算をほどこしてできる数のグループと、五次方程式の解が造る数のグループが別だという証明を行い、これが、問題の証明になるのですが、明らかに、解析学とは別の新しい数学理論が必要であったということです。
 
  こうして、問いの回答は記されたとわたしは考えます。
 
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
素晴らしい意見で大変分かり易かったです。
数学の奥の深さを感じました(--:
まだまだ研究が必要なようです・・・・・
どうもありがとうございましたm(_ _)m

お礼日時:2002/01/23 16:35

むかし、Artinのガロワ理論を


読みました。
 たしか、その中に証明があったと思います。
自分で、ガロワ理論の本を読んでみると
どういう点が困難かはすぐわかります。

 チャレンジして下さい。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
ガロワ理論の本は結構難しい感じでした。
自分が分からないだけかもしれませんが・・・(^^:
研究を続けたいと思います。
どうもありがとうございましたm(_ _)m

お礼日時:2002/01/23 16:29

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教えていただきたいです。

<問題>

1~400までの数字を

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といったABCDEのグループにわけていったとき

350はどこのグループに入るでしょうか?

といった問題です。

答えはEとなっております。



申し訳ありませんが、
お詳しい方解説の方よろしくお願いいたしますm(_ _)m

Aベストアンサー

高校1年、でしたっけ数列 
うろ覚えの独自回答になりますので
試験の回答的には間違いかもしれないので注意して下さい。

文章とグループを視覚的にしてみます。

12
345
6789
1011121314
151617181920
21222324252627
という階段が出来ます。

350個目が何段目になるかを求め、それをグループ数5で割れば回答が出ますね。

この場合、注目するのは各段の最初1,3,6,10,15です
増加している数は1,2,3,4,5,6,7ですね
各段の始めの数字を求めます。
1段目は1で"1"
2段目は3で"2"+1
3段目は6で"3"+2+1
4段目は10で"4"+3+2+1
n段目はn+(n-1)+(n-2)+(n-3)+・・・・・+1
つまり n段目は 1からnまでの数値を全て足した値になります。
数式は Σn
公式から、Σn=n(n+1)/2 となります
n=6なら6×7/2=21 →6段目の最初は21となります

さて350が何段目になるか
これはn段の最初の数が350以下で、次の(n+1)段の最初の数が350より多くなるnを求めればいいことになります。
数式はn(n+1)/2≦350<(n+1)(n+2)/2
分かりやすい文で書くと、「n×(n+1)÷2という連番のかけ算が350ぐらいの数字を求める」という感じでしょうか
例として13がどこにあるかを求めると、n=4,でn(n+1)/2に代入すると、4×5/2=10、次の5段目は5×6/2=15、つまり13は4段目にあると分かります。
4段目 1011121314
5段目 151617181920

350が何段目かを求めます
おおよそ20×20/2が200、30×30/2が450なので
求めるnは25~28あたりだと検討がつきます
27段目の最初の数字を求めます。27×28/2は378です。多いですね
26段目の最初の数字は26×27/2は351です。350は25段目の最後の数、と分かりました。
(考え方として、かけ算をしなくても「n段目は数字がn個分足される」ので26段目の最初の数字351に27段目の"27"を足すと27段目の最初の数字378になります。)

つまり25段目に350があることになります。
で、25段目はABCDEのグループ数5で割ると余りがゼロ、つまりEグループです。

余り1がA、余りが2ならB・・・ですね

試しに総当たりでも出してみます。
上の段が段数n、下の段が各段の最初の数字、です。
下の段の最初の数字に、次々に段数nを足していけば、総当たりでも早いですけどw

A B C D E     A B C D E

1 2 3 4 5     6 7 8 9 10
1 3 6 10 15     21 28 36 45 55

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
66 78 81 105 120  136 153 171 190 210

21 22 23 24 25 26
231 253 276 300 325 351

25で間違いなさそうですね

高校1年、でしたっけ数列 
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12
345
6789
1011121314
151617181920
21222324252627
という階段が出来ます。

350個目が何段目になるかを求め、それをグループ数5で割れば回答が出ますね。

この場合、注目するのは各段の最初1,3,6,10,15です
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Q数学の2次関数の問題でわからない問題がありますm(_ _)m

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従って、
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もちろんbも範囲はありますが、それがなくてもaの値は決定できるので省略しているだけで、正確には「bは少なくとも任意の自然数」と書いたほうが良かったかもしれませんね(bの範囲は11以上110以下となります)。

> また最後にaにいれていくところは
> かなり時間がかかりそうなのですが、
> もっとはやくやる方法はないでしょうか?

時間はかからないですよ。全部の合計を導く式は
(11×9+10)+(11×18+10)+…+(11×81+10)
=11×(9+18+27+36+45+54+63+72+81)+9×10---(4)
と変形できるのは分かりますか?
あとは(4)の式にある括弧の中身の計算ですが、最初と最後、前から2番目と後ろから2番目、…というように二つずつ取り出して足してみてください。

Q【数学って「解の公式」を丸暗記しないと解けないの?】 解の公式と判別式を丸暗記出来ない人は数学は無理

【数学って「解の公式」を丸暗記しないと解けないの?】


解の公式と判別式を丸暗記出来ない人は数学は無理ってこと?

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Q線形代数:解が特殊解+一般解

現在復習として線形代数をやっているのですが、解が特殊解+一般解になるというものがあまり理解できません。
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Ax=b
という方程式があるとします。
この方程式が解を持つならば、その一般解は1つの特殊解x_1と、対応する同次方程式の一般解x_0との和x=x_1+x_0で与えられるという定理があります。
この証明として、Ax_1=b, Ax_0=0とすれば、A(x_1+x_0)=Ax_1+Ax_0=b+0=b;
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見づらくわかりにくい文章で申し訳ないです・・・。

現在復習として線形代数をやっているのですが、解が特殊解+一般解になるというものがあまり理解できません。
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「x_0=0でない場合」に, どうして「A(x_1+x_0)=Ax_1+Ax_0=b+x_0(≠0)≠b」となるのですか?

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