No.2ベストアンサー
- 回答日時:
「ないことの証明」というのは、一般に、「あることの証明」よりも難しいのです。あることの証明は、一例でも、「ある」という例を示すと証明になりますが、「ないことの証明」は、何人の数学者が、五次方程式の一般代数解の公式の確定に失敗しても、証明にはならないのです。未だ、見つかっていない公式があるのかも知れない……と考えられるからです。
それに対し、五次方程式の解を求めることは、それほど難しいことではありません。おそらく、無限級数の形で表現でき、それ故、近似解を数値計算で、非常に高度な精度において計算できるのです。この場合、無限級数で解が表現できるということは、解は求まっているということです。代数的手順で解を求めることにはなっていませんが、解析数学的に解は求まるのです。
代数的解と無限級数の解では、何か違いがあるように感じられますが、実は、代数解でも、√2 などは、小数で表現しようとすると、近似解にしかなりません。それと同様に、無限級数解も、その解を具体的な数字で表現しようとすると、近似解にしかならないので、一方は、無理数の形で、他方は、無限級数の形で、解が出ているのです。
五次方程式の代数的一般解が存在しないことの証明は、先に述べたように、公式を造ろうとして、幾度も失敗し、成功しなかったという経験的事実からは出てきません。これは経験から、解の公式があるだろうという憶測があるので、試みるので、「公式がある」という証明は実は、元々なかったのです。そういう証明があれば、「公式はない」という証明は成立しないはずでしょう。
「公式があるかないか」という問題はどうやって決定できるのか。代数学のなかでは、それは決定できなかったのです。解析学のなかでも決定できなかったのです。従って、解を求めるという問題が、無限級数の形で、解析学のなかで可能であったのと違い、何か、解析学とは違う数学の理論、それも未知の理論が必要なことになります。
これについて、そのような数学は、「群論」であると、アーベルやガロワは考え、ガロワは、理論を具体的に構成したのです。
ガロワの証明は、解析学の証明ではなく、数一般が、ある類に分かれるという構想で、四則演算と、巾計算、その逆計算というような、演算をほどこしてできる数のグループと、五次方程式の解が造る数のグループが別だという証明を行い、これが、問題の証明になるのですが、明らかに、解析学とは別の新しい数学理論が必要であったということです。
こうして、問いの回答は記されたとわたしは考えます。
この回答へのお礼
お礼日時:2002/01/23 16:35
回答ありがとうございます。
素晴らしい意見で大変分かり易かったです。
数学の奥の深さを感じました(--:
まだまだ研究が必要なようです・・・・・
どうもありがとうございましたm(_ _)m
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