「無限」、考えれば考えるほど深遠な存在ですね。
僕もわからなくなっていました。
数学の得意な方にお聞きしたいです。
(大学レベルの)数学的な認識として(本来は論理記号などで記述したいが、面倒なので日本語で記述して)、
自然数1、2、3、・・・の先にあるのがω(オメガ)
実数(=数直線)の右の端にあるのが+∞
複素平面の端にあるのが、∞
座標平面の一定方向の端にあるのが、射影座標でいう無限遠点
という解釈でいいでしょうか?
もちろん、いろいろな解釈があるとは思いますが、大学レベルの数学的な解釈をいろいろ教えていただきたいです。
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
No.1さんのおっしゃるとおり
直接扱うことはまずないですね
#超準解析はちょっと違いますが,
#勉強したことないのでパスします
一口に「無限」といっても扱う文脈で微妙に違います.
集合論的な解釈だと
カントール・デデキント流に
「部分と全体が1対1に対応つけられる集合を
無限集合という」という定義です
解析的な解釈だとコーシー流のε-δ論法です
残りは幾何的な解釈になるのかな
>自然数1、2、3、・・・の先にあるのがω(オメガ)
先にあるというか・・・ωというのは
一種の符牒みたいなものです.
わざわざωと書いて∞風に扱うことは
ほとんどありません.
>実数(=数直線)の右の端にあるのが+∞
>複素平面の端にあるのが、∞
>座標平面の一定方向の端にあるのが、射影座標でいう無限遠点
これらは幾何的には同じような扱いです
実数全体の集合Rを考えると
1点コンパクト化というのがあります.
RにR外の「点∞」というのを追加した集合
S=R∪{∞}を考えます.
これは円周S^1と同相になってコンパクトです.
#開集合{x | X>M} を 一点∞の近傍とみなす
#位相をSにいれると「射影」で同相とできます
Sははっきりいっちゃえば一次元実射影空間RP^1です.
#RP^1= {(x,y)}/~,(x,y)~(λx',λy')
#λは実数(0ではない)
複素平面Cの場合は「端」ではないです
平面を丸めていって,
どうしても穴が開いてしまう一点が無限遠点∞で
これも一点コンパクト化の一例です
Cに∞を追加した集合C∪{∞}は
今度は球面S^2です
これは複素構造を無視すれば
「実二次元平面」も全く同じように
S^2になります.
これは一次元複素射影空間CP^1でもあります.
実平面に「無限遠直線」を追加したのが
二次元実射影空間RP^2です
これもコンパクト化ですけど,一点ではなくて
直線を追加してます.
#これは位相的には難しい・・メビウスの帯にそって
#閉円板をくっつけた形といわれます.
#トポロジーの基本的な本に図解があるでしょう
ずらずら書きましたが,幾何的に見た場合,
「普通の方」を一枚のカバー,
「∞を含む方」をもう一方のカバーと考えて
#正確には開被覆といいますし,
#二次元実射影平面の無限遠直線は
#一枚では覆えません.
それぞれをRやCやR^2などと同一視します.
そして,R,C,R^2なので,それぞれの
カバーには座標がついてることが重要です.
カバー同士の共通部分では
共通部分の点はそれぞれのカバーについている
座標を使って表現できますが,
カバーが違えば座標軸の変換規則で
座標が変わります.
幾何的には,こういう風にカバーごとに
「わける」ことで
「無限大の点」というを避けるようになっており,
「空間をカバーで覆ってカバーごとに考える」のが
多様体と呼ばれる幾何の基本的な対象です.
#幾何で絵がかけないのは結構しんどい・・・
この回答への補足
丁寧なご返答に感謝いたします。
解析的な解釈だとコーシー流のε-δ論法です
残りは幾何的な解釈、コンパクト化
ということですが、それらは同じものだと思うのです。
x→αのときf(x)→β
という極限の概念は、
任意のβ近傍に対して、あるα近傍が存在して、β近傍のfによる逆像は、α近傍に含まれる
と位相的に定式化されると思いますが、それはコンパクト化された実数においては、αやβが∞でもいいと思います。
ε-δ論法では、x→αということと、x→∞ということは、少し違って定式化されていましたが、実数をコンパクト化することで、同等に扱えると思うのです。
幾何的な解釈ではまた、点列の極限を用いる方法もありますが、ところで、
集合の列の極限という概念があります。
それは、
順序集合として、上極限や下極限などの考えを用いて、定式化されます。
それらの、位相空間の点列の極限の概念と、
順序集合としての集合列の極限という概念には、なにかつながりがあるのでしょうか?
No.3
- 回答日時:
kabaokabaがおっしゃていた、「超準解析」に関するページへのリンクをはっておきます。
参考URL:http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5: …
No.1
- 回答日時:
現代の数学では、無限に関することについては直接扱わない傾向があります。
というのも、多くの場合、無限を直接扱うと矛盾が出てきてしまうからです。例えば、「無限集合」は、「要素の数が無限大の集合」ではなくて、「その集合のすべての要素と、1対1対応できるような真部分集合が存在する集合」ですし、「無限次元線形空間」は、「任意のnに対して、n個のベクトルの一次結合では表現できないベクトルが存在する」空間です。
x→∞ のときに、f(x) → a となるのは、任意のδを持ってきたときに、N より大きなすべての x に対して、f(x) が、a のまわり、δの範囲に入るってしまうようなNが決められるということです。
つまり、「無限」という点が存在するのではなく、「無限に近づける」とか、「無限に存在する」という状態だけが定義されているわけですね。
この意味では、「無限遠点」は、少々毛色が異なります。
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