すべてのダイス目を出すまでの試行数

確率に関する質問です。
６面ダイスを６回振って、１～６までの数値が１回以上全種類出る確率は
（即ちこの場合はすべて１回ずつ）
1 * 5/6 * 4/6 * 3/6 * 2/6 * 1/6
で算出可能です。
で、ここで７回以下で１～６までの数値が１回以上全種類出る確率は
どのように算出していけばいいのでしょうか？

この要領で、同様に８回以下、９回以下と回数を増やして行きたいのですが・・・

出来れば、これをエクセルで作成したいと考えていますが、根本的な確率算が分かりません。

どなたか詳しい方よろしくお願いします。

No.3 ベストアンサー 回答者： age_momo 回答日時： 2006/05/26 09:17

考え方は#2さんの通りです。

これを行列にまとめると遷移行列となり、確率分布の行列を
かけるとそれぞれ確率が求まります。(マルコフ連鎖)
遷移行列は三角行列になるので対角化は容易にできます。
興味があればやってみてください。
ここでは結論だけ書いておきます。

n回サイコロを振ったときに6つの出目が全て出ている確率は

P=(6^n-C[6,5]*5^n+C[6,4]*4^n-C[6,3]*3^n+C[6,2]*2^n-6)/6^n

Excelの式で書くと、A1にnを入力しておいて

=(6^A1-COMBIN(6,5)*5^A1+COMBIN(6,4)*4^A1-COMBIN(6,3)*3^A1+COMBIN(6,2)*2^A1-6)/6^A1

この回答へのお礼

ありがとうございました。無事計算できました。
正確にはダイスは例えで、本来は２７個の要素から計算が必要だったので、恐ろしく長い式になってしまいましたが＾＾；

お礼日時：2006/05/27 01:18

No.4 回答者： age_momo 回答日時： 2006/05/26 14:35

#3です。

求めたい確率はn回目に丁度、出目が出揃う確率でしたね。
ということで、補足です。

#3で計算したのはn回までに出揃っている確率ですので丁度n回目に
出揃うのは

P(n)-P(n-1)

となります。
例えば7回目に丁度出揃うのは下の式で

P7=0.054012346
P6=0.015432099
なので確率は

0.054012346-0.015432099=0.038580247

です。

No.2 回答者： stomachman 回答日時： 2006/05/25 23:43

「n回振った時点で既に丁度k種類の目が出ている」ということが生じる確率をP(n, k)とします。

当然、
(1)　P(1,0)=0, P(1,1)=1, P(1,2)=0, ..., P(1,6)=0
ですし、
(2)　n=1,2,3, .... について P(n,0)=0
であることは自明です。

さて、「n+1回振った時点で既に丁度k種類の目が出ている」ということが生じる確率は
A「n回振った時点で既に丁度k種類の目が出ていて、n+1回目では、既に出ている目がまた出た」か、あるいは、
B「n回振った時点で既に丁度k-1種類の目が出ていて、n+1回目では、それ以外の目が出た」か
のどちらかが生じたということであり、しかも、A, Bが同時に成り立つことはありません。だから足し算で計算できて、
(3) n≧1 および、k=1,2,3,4,5,6について
　　P(n+1, k) = P(n,k)*(k/6) + P(n,k-1)*(1-(k-1)/6)
　　　　　　= (P(n,k)*k + P(n,k-1)*(7- k)) /6
となります。

　では本題。「n回振ったとき初めて6種類全部が揃った」ということが起こる確率をQ(n)とすると、それは、「n-1回振った時点で既に丁度5種類の目が出ていて、そして最後の１回でまだ出ていない残りの目が出た」ということなのだから、
(4)　Q(n) = P(n-1,5) * (1 / 6)
です。

No.1 回答者： schwantz34 回答日時： 2006/05/25 22:23

例になっているのは必要な目が出たときの次の確率を出しているので、

連続して同じ数字が出た場合はどうなるのですか？
頭悪くてごめんなさい。

この回答への補足

補足です。
仮に７回の場合
１２３４５５６　（７回目で全種類出揃ったので成功）
６１３４３４５　（まだ２が出ていない）

のように、順番に振っていって、全種類の目が１回以上
出るまでに何回の試行が必要かということを調べたい、ということです。

だから、同じ７回ダイスを振る行為でも
６１５２４３１　では、６回目の「３」の時点で
全種類の目が１回ずつ出ているので、この場合は「６回」として考えます。

補足日時：2006/05/25 22:29