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ある整数(A)を別の整数(B)で割り切れるかどうかを(実際に計算しなくても)判断する方法として

B=1の時・・・全てのAに対して割り切れる
B=2の時・・・Aの1の位が偶数なら割り切れる
B=3の時・・・Aの各位の和が3の倍数なら割り切れる
B=4の時・・・Aの下二桁が4で割り切れるなら割り切れる
B=5の時・・・Aの1の位が0か5なら割り切れる

だと思うのですが、B=6以上の時の判断方法があったような無かったような記憶が曖昧です。
無ければ無いでスッキリするので、どなたか教えてください。

A 回答 (7件)

#5です。


すいません。
証明もせず回答を書いたので間違っていました。

導出した結果だと、
各桁の数字と3×(桁数-1)の積和が7の倍数になれば、その数値は7の倍数になります。
たとえばご指摘の 3164 であれば、
3*3^3 + 1*3^2 + 6*3 + 4 = 112 = 7*16
となり、割り切れることが分かります。



以下、導出です。

n+1 桁の整数を
N = Σ_{i=0, n} 10^i a_i = a_0 + 10 a_1 + 100 a_2 + ... + 10^n a_n
とおく。ただし a_i は0から9までの整数とする。
このとき、
N = Σ_{i=1, n} (7+3) 10^{i-1} a_i + a_0
= 3 Σ_{i=1, n} 10^{i-1} a_i + a_0 + 7M
= 3^2 Σ_{i=2, n} (7+3) 10^{i-2} a_i + 3 a_1 + a_0 + 7M'
= ...
= 3^n a_n + ... + 3 a_1 + 3^0 a_0 + 7 M''
= Σ_{i=0, n} 3^i a_i + 7M''
となる。M''は整数なので 7M''は7の倍数になるから、Σ_{i=0, n} 3^i a_i が 7 の倍数であれば N は 7 の倍数になる。
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この回答へのお礼

再度回答して頂きありあがとうございます。
例えば4桁の場合で考えると
A=a+10b+100c+1000d とすると
 =(7+3)×(b+10c+100d)+a
 =7×(b+10c+100d)+3×(b+10c+100d)+a
となるからって事なんですね。

で、この問題の基本的な考え方は
「βが出来るだけ簡単な式となるように、A=B×α+βと分解する事」
だと皆さんの回答を拝見して分かりました。(ただ、その分解がなかなか上手く思いつきませんが・・・)

お礼日時:2006/06/01 20:33

以下のHPに複数の数字での判定方法とその考え方がかかれています。



HPに書かれていますが、基本的な考え方は

N=a+10b+100c+1000d+・・(ただし、0≦a,b,c,..≦9)

と書いてから考えます。一番有名な9の倍数は
10=9+1
100=99+1
1000=999+1
と考えて
N=9(b+11c+111d+・・)+a+b+c+d+・・
と変形できることから考えます。

基本的な考え方さえ理解できていれば、例えば99の数で割り切れるかどうかは
100=99+1
1000=990+10
10000=9999+1
100000=99990+10
と変形できることから
N=99(c+10d+101e+1010f・・)+(a+10b)+(c+10d)+(e+10f)+・・
と変形できるので
「2桁毎に区分けした数を足した数が99の倍数」
のようにして判定することができることが比較的容易に想像できます。
(もちろん99の倍数なら「9の倍数かつ11の倍数」として判断することもできると思いますが)

参考URL:http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/number/mu …
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この回答へのお礼

HP、拝見しました。しかし、自分には合同式のページを読んでもちょっと難しい内容でした。
このHPでB=7の時の判断方法は、「3桁ずつに分けてそれを引いて足して、最後に10a-2cを計算してそれが7で割り切れるなら割り切れる」という方法ですが、これだけの手順を踏むならば7で直接割った方が早そうですね・・・。
回答して頂きありがとうございました。

お礼日時:2006/05/31 21:11

他の方の回答と一部だぶりますが、6~9までです。



B=6 の時・・・Aが2の倍数かつ3の倍数なので、Aの各位の和が3の倍数であり、かつ1の位が偶数ならば割り切れる。
B=7 の時・・・7=3+4 なので、1の位以外の和をを三倍し、1の位を足した物が7で割り切れれば割り切れる。
B=8 の時・・・下三桁を8で割って、割り切れれば割り切れる。
B=9 の時・・・各位の和が9の倍数ならば割り切れる。

このくらいかな?
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この回答へのお礼

回答して頂き、有難うございます。
申し訳ありませんがB=7の時の説明はどこか書き間違えてないでしょうか?
例えばA=3164は7で割り切れるのですが(=7x452)
説明して頂いた計算では
(3+1+6)x3+4=34となり7で割り切れません。
私が何か勘違いしてるのでしょうか?

お礼日時:2006/05/31 20:47

B=8の時・・・8は200で割り切れますので、


        B=4の時を拡大して考えて、
        百の位にも着目すれば
        判定が可能かと思います。
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この回答へのお礼

B=8の時は初めて聞きました。
そうですね、B=4を応用して考えれば下3桁に注目すれば良いですね。
回答して頂きありがとうございました。

お礼日時:2006/05/31 20:31

B=  10の時・・・Aの1の位が0なら割り切れる


B= 100の時・・・Aの下2桁が00なら割り切れる
B=1000の時・・・Aの下3桁が000なら割り切れる
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この回答へのお礼

難しいことばかりでなく、こういった基本的な事も大事だと思います。
回答していただき有難うございました。

お礼日時:2006/05/31 20:28

B=11の時・・・Aの奇数桁目の和と偶数桁目の和


         の差が11の倍数なら割り切れる。

    例 135792468なら、
     奇数桁目(1の位から)8、4、9、5、1
     で和は26
     偶数桁目(10の位から)6、2、7、3で
     和は18
     26と18の差は8で11の倍数じゃないから違う
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この回答へのお礼

おおっ、これは初めて知りました。感動しました。
Aが4桁の場合
A=a+10b+100c+1000dとすると
A=(a+c-b-d)+11b+99c+1001d
 =(a+c-b-d)+11b+11x9c+11x91d
となりshiritaiさんの仰る通り、11の倍数かどうかを判断出来ますね。
回答していただき、有難うございました。

お礼日時:2006/05/31 20:24

B=6の時・・・Aの各位の和が3の倍数かつAの1の位が偶数なら割り切れる


B=7の時・・・知らない
B=8の時・・・知らない(とりあえず4で割り切れるかチェックする)
B=9の時・・・Aの各位の和が9の倍数なら割り切れる
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
B=6の時は、目からうろこでした。6=2x3である事を考えると、まさにその通りですね。
B=9の時は、すっかり忘れてましたが、教えていただき思い出しました。

お礼日時:2006/05/31 20:13

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