充填率と液面の関係

円筒状の容器に任意の充填率で水を入れ蓋をして横に倒した時、充填率と液面の高さの関係式を円筒の半径を使って表したいです。
例えば200リットルのドラム缶に40％の充填率で水を入れたら80リットル入りますが、ドラム缶を横に倒した時の水面の高さを知りたいのです。
この関係式を使ってExcel上で色々な半径と充填率のパターンから液面の高さを算出してみたいので、どうかご教授願います。

No.1 ベストアンサー 回答者： debut 回答日時： 2006/06/06 23:42

円筒の断面(円)を考えたとき、円筒の半径をｒ(cm)、円筒の長さを

Ｌ(cm)、円の中心と液面が円筒と接する点を結んだ２本の半径が円
の中心でなす角をθ(ラジアン)、満タンのときの容量をＶ(リットル)、
充填率をｎ(％)、液面の高さ(円筒が地面？と接する点からの)をｘ(cm)
とすると、

１．ｘ＝ｒ－ｒcos(θ/2)・・・☆
２．θは、内容量で決定される、液面の直線(円の弦)の長さ、あるいは
　　液面の直線と円筒の曲線で囲まれる弓形部分の面積による。

面積の方で考えると、
・弓形部分の面積＝
半径ｒ中心角θの扇形の面積－頂角θ等しい２辺がｒの二等辺三角形の面積
・弓形部分の面積×円筒の長さ＝満タンのときの容量×充填率

だから、式で表せば
{(πｒ^2)×(θ/2π)-(r^2sinθ)/2}×Ｌ＝Ｖ×1000×(ｎ/100)
整理すると、(Ｌｒ^2/2)(θ-sinθ)＝10ｎＶ
さらに、θ-sinθ＝(20ｎＶ/Ｌｒ^2)・・・★

★式からθを求めて、☆式に代入すれば求められると思いますが、
★式を解くことは大変です。