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No.1ベストアンサー
- 回答日時:
(図を後で添付)
弧ABと弦ABに囲まれた部分の面積がS
原点をO、半径rとする円がある。
∠AOD = p(単位:ラジアン)とする。
なお、CD = xとおき、OD = r - x, Math.Cos(p) = (r - x) / r…A
であるとする。
このとき、弧ACと弦ADに囲まれた部分の面積は S / 2…式1
また、この部分の面積は
扇形ACOの面積 Math.Pow(r,2) * Math.PI * p / (2 * Math.PI) = Math.Pow(r,2) * p / 2 から
三角形AODの面積
1/2 * OD * DA
= 1 /2 * r * Math.Cos(p) * r * Math.Sin(p)
= 1 /2 * Math.Pow(r,2) * Math.Cos(p) * Math.Sin(p)
を引いたものといえ、
Math.Pow(r,2) * p / 2 - 1 /2 * Math.Pow(r,2) * Math.Cos(p) * Math.Sin(p)…式2
前者の算出法と後者の算出法の誤差を求めることを考え(式2 - 式1)、この関数をf(p)とする。
f(p) = Math.Pow(r,2) * p / 2 - 1 /2 * Math.Pow(r,2) * Math.Cos(p) * Math.Sin(p) - S / 2
f(p)が0になるようなpを求めるためにニュートン法を使う。
f(p)のpによる微分fdiff(p)は
Math.Pow(r,2) / 2 - 1 /2 * Math.Pow(r,2) * (Math.Cos(p) * Math.Cos(p) - Math.Sin(p) * Math.Sin(p)) = Math.Pow(r,2) / 2 - 1 /2 * Math.Pow(r,2) * Math.Cos(2 * p)
でニュートン法をそのまま適用。pを0から始めると、
pさえ解ってしまえば
Math.Cos(p) = r - x / r
しかないわけで後は簡単。
という感じでやってみた。ニュートン法のわかりやすい説明って中々なく、説明省略orz
#上記の式ではつい整数同士の除算とか放置しているけど、そのへんを考えて書いてみた物。
値はp = Math.PI / 3を想定してr,とSを与えた例。大体あってますね。
pを0から始めるとfdiffが0とかになるのか、NaNが答になっちゃうのでMath.PI / 2からスタートです。
http://ideone.com/okI58
![「半径rの円があって、図のグレー部分の面積」の回答画像1](http://oshiete.xgoo.jp/_/bucket/oshietegoo/images/media/b/376365_5497e0ae7fd78/M.jpg)
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