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閉区間[0,1]の集合の濃度はN1であることを示せという問題なんですが、まったくわかりません。そもそも濃度とはなんぞや?という状態です。解説や、わかりやすいサイトなどがあればお願します。

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A 回答 (3件)

フレアではなく、アレフ1ではないでしょうか。


アレフというのは、イスラエルの公用語のヘブライ語のアルファベットで、英語の「A」に当たるものです。

さて、アレフ1というのは、実数濃度です。
濃度というのは、直感的にいえば、無限集合の大きさ・濃さのことです。無限集合なんだから、どの無限集合も、大きさは無限なんじゃないか?といえば、それはその通りなんですが、無限同士を比較する方法があるのです。

それは、ある無限集合Xと無限集合Yの間に、全単射f:X→Yで、1:1の対応がつけば、XとYは、同じ濃度だ、と定義する方法です。

さて、アレフ1というのは、実数全体の濃度です。当たり前ですが、実数全体は、無限個ありますね。さて、閉区間[0,1]にも、無限個の点があることがわかりますか?例えば、0.1より、ちょっと大きい数というのを考えて見ましょう。
0.11>0.101>0.1001>0.10001>0.100001>...>0.1
と、このように、数を作っていけば、0.11と0.1の間に、無限この数があることがわかりますね。

閉区間[0,1]と、実数全体の間に、全単射となる写像を作ってやればいいのです。つまり、ある全単射な関数f(x) (0<=x<=1)の値域が、実数全体であればよいわけです。
このf(x)は、次のようにして、作れます。
まず、正の実数全体{x|x∈R,x>0}と、実数全体の間に、全単射な写像が作れることを示しましょう。実は、良く知られている次の関数が、この全単射な写像になっているのです。
f(x) = ln(x) (x>0)
ln(x)は、xの自然対数です。
なぜか、ちょっと証明してみましょう。ln(x)の値域が、実数全体であることは、既知としてよいですね。x→+0とすれば、ln(x)→-∞ですし、x→∞で、ln(x)→∞。
そして、ln(x)は、連続な関数です。つまり、関数が途中で切れていて、その間で値が飛んでいるなんてことはないので、任意のy∈Rに対して、必ずy=ln(x)とかけるxがあることがわかります。
したがって、正の実数全体と、実数全体の濃度は、同じであることがわかりました。実数全体の濃度のことを、アレフ1といったので、正の実数全体の濃度も、実数全体の濃度と同じアレフ1です。

今は、無限個の話をしているので、有限個の元を加えても、濃度は同じになりますから、正の実数全体に、{0}を加えて、非負の実数全体{x|x∈R,x>=0}も、正の実数全体の濃度も、アレフ1です。
次に、「非負の実数全体」{x|x∈R,x>=0}と、閉区間[0,1]の間に全単射を作ります。

f(x)=2x (0=<x<=0.5)
=1/(2x-1) (0.5<x<=1)

じーっと見てください。全単射が作れているはずです。
これで、閉区間[0,1]と、非負の実数全体が、同じ濃度であることがわかりました。非負の実数全体の濃度は、先ほど示したように、アレフ1だったので、閉区間[0,1]も、アレフ1です。

実は、三角関数tanを使うと、もっと簡単にできます。tan(x)は、x=-π/2でtan(x)=-∞をとり、x=0で、tan(x)=0で、x=π/2で、tan(x)=∞ですから、xを(-π/2,π/2)で動かすと、実数全体に対応してします。しかも、間が全部連続です。0<=x<=1のとき、-1<=1-2x<=1なので、
-π/2<=π(1-2x)/2<=π/2であることに注意すると、

f(x)= tan(π(1-2x)/2)

とすれば、[0,1]の濃度が、実数全体の濃度アレフ1であることが示せます。
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この回答へのお礼

とてもおそくなりました!!すごい丁寧に説明してくださって、本当に感謝しています。ありがとうございました!!

お礼日時:2006/08/31 20:24

以下の記述で、アレフ記号をNで代用します。



「閉区間[0,1]の集合の濃度はN1」の証明は通常できません。
N1はN0(可算濃度)の次に大きい濃度です。
一方で実数の濃度(連続体濃度)は 2^(N0) で、これは単にN (アレフ) と呼ばれます。
定義により
 N1 ≦ N
ですが、これが一致するという命題は連続体仮説と呼ばれ、ZFC集合論からは肯定も否定も証明できないことが証明されています。

なお、連続体仮説を前提としてなら証明できます。
それなら「閉区間[0,1]の集合の濃度はN」の証明ですので、No.2さんの記述で良いと思います。
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この回答へのお礼

とても遅くなりました。ありがとうございました!!

お礼日時:2006/08/31 20:22

N1の意味が分からないので、問題には答えられませんが、「集合の濃度」というのは集合の要素の個数のことです。



例えば、
A={a,b,c}という集合の濃度は3です。
このとき、|A|=3と表します。

自然数の集合Nの濃度は∞です。

この回答への補足

こんな深夜にも関わらず答えてくださって本当にありがとうございます。N1はフレア1のことです。パソコン記号でどうだしたらいいかわからなかったので、、、すみません!!

補足日時:2006/07/24 02:13
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この回答へのお礼

遅くなりました。ありがとうございます!!

お礼日時:2006/08/31 20:25

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上記のサイトを眺めておりましたところ、下記の記述に出会いました。

===引用===
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===引用終わり===

恥ずかしながら、無限集合の濃度の事を聞いて以来、無限集合の濃度は下限が ‭א0で上限がא1なのかと勝手に思っておりました。
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http://ufcpp.net/study/set/cardinality.html#carginality

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===引用===
余談になりますが、 この記号 ‭א は、 ヘブライ文字の1文字目で、ギリシャ文字のα、ローマンアルファベットの a の元になった文字です。 無限基数の中で小さいものから順に、 ‭א0 , ‭א1 , ‭א2 , ・・・ と表します。 昔は、 無限基数を小さいものから順に、 ヘブライ文字の第 n 文字目で表していました (aleph, beth, gimel, daleth, ・・・)が、 読めないし、...続きを読む

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正しくは「濃度が等しい」と言います。

下記URLには実数vs実数は出ていませんが、濃度に関してはわかりやすいかと思います。

参考URL:http://www.gcc.ne.jp/~narita/prog/math/01/

Q最大元と極大元の定義の違いが分かりません

数学の基礎「齋藤正彦著」p22からの抜粋です。

定義
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2) aがAの元で,Aのいかなる元xに対してもa<xとならない時,aを極大元という。x<aなるAの元が存在しない時,aを極小元という。極大元や極小元は存在しない事も有るし,沢山存在する事もある」

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Aベストアンサー

>最大元と極大元の定義の違いが分かりません
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Q実数体RからRへの写像の全体の集合の濃度>Rの濃度、について

集合の濃度についての質問です。数学書に、実数体RからRへの写像の全体の集合の濃度>Rの濃度、とありますが、よくわかりません。なぜかいうと、縦軸と横軸として、実数直線Rをそれぞれとると、集合の包含関係から、実数平面RxRの濃度>実数直線Rから実数直線Rへの写像の全体の集合の濃度、となり、そのとき、RxRの濃度=Rの濃度なので、Rの濃度>実数直線Rから実数直線Rへの写像の全体の集合の濃度、となると私は思うからです。この考えのどこを訂正したらいいのか教えてください。

Aベストアンサー

 #1さんと同じです。
 本当は、こんなにざっくり言ってはいけないのでしょうけど・・・。

 xy平面に100×100の格子点を想像して下さい。これをR^2と、とりあえずみなします。R^2は100×100個です。
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 一方R^2の部分集合の取り方は明らかに、RからRへの写像全体の作り方より多いはずです(各列から必ず一個とは限らないから)。

 従って、
    R^2の部分集合全体
  > RからRへの写像全体
  > R^2

となります。点が無限個の場合も不等号の成立を言うためには、対角線論法が必要です。

Q可算であることの証明

可算についてなのですが、次の2つがどうしても証明出来ません。

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2.有理数a,bを端点とする開区間(a,b)全体の集合は可算である

一応濃度、可算集合については一通り勉強したのですが…。
言っている事はなんとなくわかるのですが、自分でいざ問題を解いてみる(証明してみる)と何をどう書いてよいのやらまったくのお手上げです。
きちんと理解できていないのが原因だと思うのですが、いろいろな本を読み漁ってもこの”集合論”という分野、いまいちピンときません。
どうか回答のほどよろしくお願いします。

Aベストアンサー

No.1です。
補足の2.ですが:

>なぜ和をとるのでしょう?
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>開区間全体として可算となりえるのでしょうか
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Q単射 全射 全単射 について教えてください

タイトルの通り、単射 全射 全単射についていまいち納得できないので教えてください。

今、手元に問題が5つあるのですが


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(1)f:Z→N f(x)=x2(二乗)
(2)f:R→R f(x)=2x(x乗)
(3)f:R→R f(x)=sinx
(4)f:Z→R f(x)=x3(三乗)
(5)f:R→R f(x)=2x+1

例えば、(1)であれば 
Zが1のとき、Nは1、Zが2のとき、Nは4という風にZが決定すればNはただひとつ必ず決まるから単射。
でも、Zが2のときは、Zは1とも-1ともいえるので全射ではない、ということなのでしょうか。
全単射、というのはそうするとどういった状態を言うのでしょうか・・・

それぞれの問題も全くちんぷんかんぷんです。
どうか教えてください。

Aベストアンサー

(1) f: Z→N, f(x) = x^2
 x = 1,-1 に対し f(x) はどちらも 1 ですから,単射ではありません.
 また N の元 2 に対する Z の元が存在しない (f(x) = 2 になるような整数がない) ため全射でもありません.
 
(2) f: R→R, f(x) = 2^x
 f(x) は単調増加ですから単射といえましょう.つまり x = 5 が与えられたら f(5) = 32 ですし,f(x) = 32 が与えられたらそのような x は 5 しかありません.
 また全射ではありません.R への写像となっていますが,f(x) = 0 や負になるような x がないからです.
 
(3) f: R→R, f(x) = sin x
 sin x は周期関数ですから,たとえば x = 0,π,2π,... と無限に多くの x に対し f(x) が同じ値になります.だから単射ではありません.
 また sin x は -1 から 1 の値しかとりませんから,R の上に全射でもありません.
 
(4) f: Z→R, f(x) = x^3
 f(x) が単調増加ですから単射です.つまり一つの f(x) に対してもとの x が二つ以上定まるということはありません.
 また f(x) = 2 なる x も Z にはないので全射でありません.
 
(5) f: R→R, f(x) = 2x +1
 全単射です.f(x) は単調に全実数をわたるから単射かつ全射です.

(1) f: Z→N, f(x) = x^2
 x = 1,-1 に対し f(x) はどちらも 1 ですから,単射ではありません.
 また N の元 2 に対する Z の元が存在しない (f(x) = 2 になるような整数がない) ため全射でもありません.
 
(2) f: R→R, f(x) = 2^x
 f(x) は単調増加ですから単射といえましょう.つまり x = 5 が与えられたら f(5) = 32 ですし,f(x) = 32 が与えられたらそのような x は 5 しかありません.
 また全射ではありません.R への写像となっていますが,f(x) = 0 や負になるような x がないからです.
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Qベルンシュタインの定理がよくわかりません…

こんにちは。
集合論の本を読んでいるのですが、ベルンシュタインの定理でつまづいています…。

当然その証明がよくわからないのですが、なにより一番わからないのが、なぜこの証明が必要なのか?この定理の問題意識(問題提起)は何であったか?という点です。
と言いますのも、mとnをそれぞれ集合の濃度とすると、

m≦nかつn≦m

であれば自明のようにm=nなのではないかと思うからです。
今読んでいるのと別の本を読んでみると、「これは証明を必要とすることなのである」と書いてありますが、なぜなのかがわかりません。
どなたかこの定理が証明を必要とすることを直観的に把握できるように説明していただけないでしょうか?

そして二つ目にわからないのが証明の内容にかかわる部分です。
全体を把握していないので中途半端な質問になりますが、お願いします。

集合M,Nを用意して、
MからNの中への一対一写像(単射のことですよね?)をφ、NからMへの単射をψとします。
そしてψ∘φをΦとすると、ΦはMからMへの単射となります。

このときΦ(M)=M2とすると、「M2はMの部分集合である。またΦはMからM2の上の一対一写像(全単射のこと?)だから、MとM2は対当となる」とあります。

わからないのは2点で、「Φ(M)=M2」からなぜM2がMの部分集合と言えるのか?むしろ包含関係は逆ではないのか(Φは単射だから)という点と、ΦがMからM2への全単射であるといえるのはなぜなのかという点です。

質問は以上です。下二つに関しては、私のとんだ思い違いかもしれません。ですのでどうか最初の一つだけでも、教えていただけると幸いです。

お願いします!

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Aベストアンサー

最初の点
それは、「濃度」とか「≦」とかがどう定義されているかによって、回答が変わってくる。というわけで、ここでの「濃度」とか「≦」の定義を補足か何かに書いてください。


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その次
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Qアレフ0より小さな濃度をもつ無限集合

 
アレフ0(可算集合の濃度)より小さな濃度をもつ無限集合はありますか。
 

Aベストアンサー

> 可算選択公理(英語版)(選択公理の弱いバージョン)を仮定すれば、\aleph_0 は他のどんな無限基数よりも小さい。
# http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A2%E3%83%AC%E3%83%95%E6%95%B0

上記から少なくとも可算選択公理が成り立たない体系を想定しないと、質問の無限集合は存在しません。

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その像が最大値を持つと有限になるので、その像は最大値を持たない。
自然数の部分集合は最小値を持つので、小さい方から順に対応付けすると自然数から仮定した無限集合の中への単射が作れそうな気がしますが、可算選択公理がないからこれが関数にならないのかな。
何にせよ、アレフ0と比較不可能というくらいならともかく、より小さな無限濃度の存在はかなり不自然ということは認識頂けると思います。

QC1級関数って何ですか?

級数の勉強をしていると、
” C1級数関数 ”
(※ 1はCの右上の小さい文字。表記できませんでした。)
という用語が出てきたのですが、どういう意味なのかわかりません。
どういう関数なのか教えてください。

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こんにちは.Esnaです.

C1級は,1回微分可能な関数のことです.
Cn級や,C∞級(e^x,sin x など)など微分可能回数によって関数を分類したものです.


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