集合の濃度

閉区間[０,１]の集合の濃度はＮ1であることを示せという問題なんですが、まったくわかりません。そもそも濃度とはなんぞや？という状態です。解説や、わかりやすいサイトなどがあればお願します。

No.2 ベストアンサー 回答者： betagamma 回答日時： 2006/07/24 03:27

フレアではなく、アレフ1ではないでしょうか。

アレフというのは、イスラエルの公用語のヘブライ語のアルファベットで、英語の「A」に当たるものです。

さて、アレフ1というのは、実数濃度です。
濃度というのは、直感的にいえば、無限集合の大きさ・濃さのことです。無限集合なんだから、どの無限集合も、大きさは無限なんじゃないか？といえば、それはその通りなんですが、無限同士を比較する方法があるのです。

それは、ある無限集合Xと無限集合Yの間に、全単射f:X→Yで、1:1の対応がつけば、XとYは、同じ濃度だ、と定義する方法です。

さて、アレフ1というのは、実数全体の濃度です。当たり前ですが、実数全体は、無限個ありますね。さて、閉区間[0,1]にも、無限個の点があることがわかりますか？例えば、0.1より、ちょっと大きい数というのを考えて見ましょう。
0.11>0.101>0.1001>0.10001>0.100001>...>0.1
と、このように、数を作っていけば、0.11と0.1の間に、無限この数があることがわかりますね。

閉区間[0,1]と、実数全体の間に、全単射となる写像を作ってやればいいのです。つまり、ある全単射な関数f(x) (0<=x<=1)の値域が、実数全体であればよいわけです。
このf(x)は、次のようにして、作れます。
まず、正の実数全体{x|x∈R,x>0}と、実数全体の間に、全単射な写像が作れることを示しましょう。実は、良く知られている次の関数が、この全単射な写像になっているのです。
f(x) = ln(x) (x>0)
ln(x)は、xの自然対数です。
なぜか、ちょっと証明してみましょう。ln(x)の値域が、実数全体であることは、既知としてよいですね。x→+0とすれば、ln(x)→-∞ですし、x→∞で、ln(x)→∞。
そして、ln(x)は、連続な関数です。つまり、関数が途中で切れていて、その間で値が飛んでいるなんてことはないので、任意のy∈Rに対して、必ずy=ln(x)とかけるxがあることがわかります。
したがって、正の実数全体と、実数全体の濃度は、同じであることがわかりました。実数全体の濃度のことを、アレフ1といったので、正の実数全体の濃度も、実数全体の濃度と同じアレフ1です。

今は、無限個の話をしているので、有限個の元を加えても、濃度は同じになりますから、正の実数全体に、{0}を加えて、非負の実数全体{x|x∈R,x>=0}も、正の実数全体の濃度も、アレフ1です。
次に、「非負の実数全体」{x|x∈R,x>=0}と、閉区間[0,1]の間に全単射を作ります。

f(x)=2x (0=<x<=0.5)
=1/(2x-1) (0.5<x<=1)

じーっと見てください。全単射が作れているはずです。
これで、閉区間[0,1]と、非負の実数全体が、同じ濃度であることがわかりました。非負の実数全体の濃度は、先ほど示したように、アレフ１だったので、閉区間[0,1]も、アレフ1です。

実は、三角関数tanを使うと、もっと簡単にできます。tan(x)は、x=-π/2でtan(x)=-∞をとり、x=0で、tan(x)=0で、x=π/2で、tan(x)=∞ですから、xを(-π/2,π/2)で動かすと、実数全体に対応してします。しかも、間が全部連続です。0<=x<=1のとき、-1<=1-2x<=1なので、
-π/2<=π(1-2x)/2<=π/2であることに注意すると、

f(x)= tan(π(1-2x)/2)

とすれば、[0,1]の濃度が、実数全体の濃度アレフ1であることが示せます。

この回答へのお礼

とてもおそくなりました！！すごい丁寧に説明してくださって、本当に感謝しています。ありがとうございました！！

お礼日時：2006/08/31 20:24

No.3 回答者： rinkun 回答日時： 2006/07/24 13:02

以下の記述で、アレフ記号をNで代用します。

「閉区間[０,１]の集合の濃度はN1」の証明は通常できません。
N1はN0(可算濃度)の次に大きい濃度です。
一方で実数の濃度(連続体濃度)は 2^(N0) で、これは単にN (アレフ) と呼ばれます。
定義により
　N1 ≦ N
ですが、これが一致するという命題は連続体仮説と呼ばれ、ZFC集合論からは肯定も否定も証明できないことが証明されています。

なお、連続体仮説を前提としてなら証明できます。
それなら「閉区間[０,１]の集合の濃度はN」の証明ですので、No.2さんの記述で良いと思います。

この回答へのお礼

とても遅くなりました。ありがとうございました！！

お礼日時：2006/08/31 20:22

No.1 回答者： gengen4 回答日時： 2006/07/24 01:52

N1の意味が分からないので、問題には答えられませんが、「集合の濃度」というのは集合の要素の個数のことです。

例えば、
A＝｛a,b,c｝という集合の濃度は３です。
このとき、|A|=3と表します。

自然数の集合Nの濃度は∞です。

この回答への補足

こんな深夜にも関わらず答えてくださって本当にありがとうございます。Ｎ1はフレア１のことです。パソコン記号でどうだしたらいいかわからなかったので、、、すみません！！

補足日時：2006/07/24 02:13

この回答へのお礼

遅くなりました。ありがとうございます！！

お礼日時：2006/08/31 20:25